Література
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для ВТУЗов, т.2 : Учебное пособие для ВТУЗов. – 13-е изд. – М. : Наука, 1985 – 560 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Учебник для ВТУЗов – М.: Наука, 1989 – 464 с.
Гутер Р.С., Ямпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. – М.: Высшая школа, 1976 – 304 с.
Бугір М.К. Математика для економістів. – Навчальний посібник. Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 192 с.
Додаток 1
Формули відповідності |
||||||||||
Оригінал |
Зображення |
Оригінал |
Зображення |
|||||||
1 |
|
|
9 |
|
|
|||||
2 |
|
|
10 |
|
|
|||||
3 |
|
|
11 |
|
|
|||||
4 |
|
|
12 |
|
|
|||||
5 |
|
|
13 |
|
|
|||||
6 |
sh at |
|
14 |
|
|
|||||
7 |
ch at |
|
15 |
|
|
|||||
8 |
|
|
16 |
|
|
|||||
Основні теореми операційного числення |
||||||||||
1 |
Властивість лінійності
|
|||||||||
2 |
Теорема подібності
|
|||||||||
3 |
Теорема зсунення
|
|||||||||
4 |
Теорема диференціювання по параметру
|
|||||||||
5 |
Теорема запізнення
|
|||||||||
Додаток 1 (продовження)
6 |
Зображення періодичних оригіналів
|
7 |
Диференціювання оригінала
|
8 |
Інтегрування оригінала
|
9 |
Диференціювання зображення
|
10 |
Інтегрування зображення
|
11 |
Згортка функцій. Теорема множення зображень
|
12 |
Інтеграли Дюамеля
|
Формули розкладання |
|
I |
Корені многочлена Nn(p) дійсні, прості і відмінні від нуля.
де pk – корені знаменника. |
II |
Корені многочлена Nn(p) дійсні, прості і p = 0 є простий
корінь
Nn(p);
Nn(p)
=
|
;
.
Додаток 1 (продовження)
III |
Корені многочлена Nn(p) кратні
|
IV |
Корені многочлена Nn(p) комплексно спряжені, прості.
|
Додаток 2
Довідкові матеріали для
розв’язання диференціальних рівнянь.
Диференціальні рівняння І порядку F(x,y,y') = 0
Тип диференціального рівняння |
Метод інтегрування |
1. З відокремлюваними змінними
|
|
2. Однорідні
де
Функція
де
|
Заміна
(або
(або
Заміна
|
,
– однорідні функції.
називається однорідною виміру n,
якщо для любих
виконується
рівність
– однорідна функція нульового виміру.
)
) .
.
Додаток 2 ( продовження)
3. Лінійні
|
а) метод І. Бернуллі
(або
тоді
(або
б) метод варіації довільної сталої
1)
2) Нехай C = C(x), тоді
3)
Підставивши значення
початкове лінійне рівняння отримаємо
звідки знаходимо C = C(x), тоді
|
4.Рівняння Я. Бернуллі
де
|
а)
заміна
рівняння. метод І. Бернуллі
(або ),
тоді
(або
|
),
) .
і
в
приводить диференціальне рівняння
Я. Бернуллі до лінійного диференціального
) .Додаток 2 (продовження )
Диференціальні
рівняння ІІ порядку
пониження порядку |
|
Вид диференціального рівняння |
Метод інтегрування |
1.
|
|
2.
|
Заміна
|
3.
|
Заміна
Визначивши
|
4.
|
Заміна
|
5.
|
Заміна
|
,
які допускають
шляхом повторного інтегрування
знайдемо y.
явно не містить y
явно не містить x
;
;
;
Додаток 2 (продовження )
Диференціальні рівняння ІІ порядку однорідні |
|
Вид диференціального рівняння |
Загальний розв’язок |
Складемо характеристичне рівняння, замінюючи:
де
|
|
Диференціальні рівняння ІІ порядку неоднорідні зі сталими коефіцієнтами |
|
|
Метод варіації довільних сталих 1)
2)
нехай
тоді
де
Розв’язок
Інтегруючи
|
невідомі
функції.
і
знаходимо з системи рівнянь
і
знаходимо
і
,
і підставляючи їх в загальний розв’язок
отримаємо розв’язок неоднорідного
диференціального рівняння
Додаток 2 (продовження )
Диференціальні рівняння ІІ порядку неоднорідні зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального виду |
|||
1)
|
|
||
Структура m – не є коренем характеристичного рівняння |
Структура m – корінь характеристичного рівняння, r – кратність |
||
|
|
||
де
В
залежності від степеня
маємо:
і т.д. |
|||
2)
|
Структура
рівняння |
Структура – корінь характеристичного рівняння |
|
|
|
||
де
|
|||
многочлен з невизначеними коефіцієнтами.
– не
є коренем характеристичного
і
многочлени з невизначеними коефіцієнтами.
Додаток 3