3.3. Модель ринку з прогнозованими цінами

[4], розділ 9, § 9, 6.

При вивченні моделей ринку більш реалістично розглядати залежність попиту

(3.25)

і пропозиції

(3.26)

не тільки від ціни , але й від тенденції формування ціни (тобто від ), а також від темпів зміни ціни (тобто від ).

Приклад 12. Нехай має місце наступна залежність попиту і пропозиції від ціни і її похідних:

(1*)

(2*)

Відомо, що в початковий момент часу , . Знайти залежність цін від часу.

Розв’язання. Прирівнюючи праві частини рівностей (1*) і (2*) (оскільки в точці рівноваги ), отримаємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійним коефіцієнтами:

(3*)

Згідно теореми про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, маємо

,

де – загальний розв’язок однорідного рівняння

.

Складемо характеристичне рівняння

та знайдемо його корені

, .

Тоді загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

.

Знайдемо тепер частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Права частина диференціального рівняння має вигляд

,

де – многочлен нульового степеня, .

Оскільки не співпадає з коренями характеристичного рівняння, то частинний розв’язок відшукуємо по виду правої частини

2 2 1

Частинним розв’язком неоднорідного рівняння буде константа, яку будемо називати стаціонарною ціною – . З (3*) випливає, що . Тому загальний розв’язок рівняння (1*) буде

Врахувавши початкову умову , маємо

, тобто .

Тоді

Знайдемо і і підставимо в одне з рівнянь (1*) або (2*), наприклад, (1*)

С користавшись початковою умовою , матимемо

Отже, .

З

Рис. 4

образимо схематично графік функції (рис. 4).

Оскільки , то ринкова ціна буде мати своєю границею при стаціонарну ціну .

У

Рис. 4

загальному випадку частинний розв’язок знаходиться за методом варіації довільної сталої.

Розділ 2. Завдання для індивідуальної роботи Теоретичні питання

1. Означення диференціального рівняння. Задача, яка зводиться до диференціального рівняння. Розв’язок, порядок, степінь диференціального рівняння.

2. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний та частинний розв’язок. Загальний та частинний інтеграли. Початкові умови. Задача Коші.

3. Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюючими змінними.

4. Однорідні функції. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку та метод їх розв’язування.

5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод І. Бернуллі та метод варіації довільної сталої їх інтегрування. Диференціальне рівняння Я. Бернуллі.

6. Диференціальні рівняння другого порядку. Загальний розв’язок та загальний інтеграл. Початкові умови. Задача та теорема Коші.

7. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку.

8. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Лінійна залежність та незалежність частинних розв’язків. Вронскіан. Формулювання допоміжних теорем. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.

9. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку.

10. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок у випадку :

а) дійсних різних коренів характеристичного рівняння;

б) дійсних рівних коренів характеристичного рівняння;

в) комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння. Формули Ейлера.

11. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Знаходження частинного розв’язку у випадку правої частини.

а) ; б) .

12. Метод варіації довільних сталих знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку.

13. Диференціальні рівняння механічних та електричних коливань та їх дослідження.

14. Означення перетворення Лапласа. Оригінали та зображення. Зображення функцій , , .

15. Теореми подібності. Зображення функцій sin at, cos at.

16. Теорема зсунення. Зображення функцій , , .

17. Теорема диференціювання по параметру. Зображення функцій

18. Диференціювання оригінала.

19. Застосування перетворення Лапласа до розв’язання лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Операторне рівняння та операторний розв’язок.