- •Мелітополь
- •3. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до
- •1. Диференціальні рівняння першого порядку
- •1.1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •1.2. Однорідні диференціальні рівняння
- •1.3. Лінійні диференціальні рівняння та рівняння я. Бернуллі
- •2. Диференціальні рівняння другого порядку
- •2.1. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку
- •2.2. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •3. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до дослідження механічних та електричних коливань
- •3.1. Дослідження коливань пружної підвіски культиватора
- •3.2. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до дослідження електричних коливань
- •3.3. Модель ринку з прогнозованими цінами
- •Розділ 2. Завдання для індивідуальної роботи Теоретичні питання
- •Розрахункові завдання
- •1. Знайти розв’язок задачі Коші
- •Література
- •Міністерство аграрної політики україни
- •Таврійський державний агротехнологічний університет
- •Кафедра вищої математики
- •Диференціальні рівняння
2. Диференціальні рівняння другого порядку
[1], глава ХІІІ, § 16
2.1. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку
[1], глава ХІІІ, §§ 17-18
Диференціальні рівняння другого порядку, що не містять явно у собі змінні або , за допомогою належної заміни змінної допускають зниження порядку та інтегруються до кінця.
Якщо диференціальне рівняння другого порядку явно не містить , то застосовується підстановка , , якщо вона явно не містить , то
; .
Приклад 7. Знайти розв’язок задачі Коші
; ;
Розв’язання. Оскільки диференціальне рівняння явно не містить y, то застосуємо підстановку ; тоді одержимо
або .
Це лінійне рівняння першого порядку, загальний розв’язок якого знайдемо, наприклад, за методом І. Бернуллі.
Загальний розв’язок відшукаємо у вигляді
тоді або ;
;
; ; ;
; ,
Знайдемо сталу С1 із початкової умови . Оскільки то
; ; .
Тоді , але .
І знову одержимо диференціальне рівняння першого порядку
; ;
;
знайдемо із початкової умови .
; ; – розв’язок задачі Коші.
Приклад 8. Знайти розв’язок задачі Коші
; ;
Розв’язання. Оскільки рівняння явно не містить , то застосуємо заміну
; тоді
; P = 0; y' = 0; y = C.
З урахуванням початкової умови y = 0. – це диференціальне рівняння з відокремлюючими змінними.
; ;
;
Знайдемо С1 із початкових умов та
Оскільки , то ; ; .
Замінимо на , знову одержимо диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюючими змінними
; ;
Знайдемо із початкової умови , звідки .
Тоді – частинний інтеграл задачі Коші.
2.2. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
[1], глава ХІІІ, §§ 20-24
Лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд
, (2.1)
де – сталі числа, а – відома функція.
Якщо , то диференціальне рівняння
(2.2)
зветься лінійним однорідним, а рівняння (2.1) – лінійним неоднорідним.
Загальний розв'язок однорідного рівняння (2.2) подається у вигляді
(2.3)
де та – фундаментальна система (лінійно незалежні частинні розв'язки рівняння (2.2));
та – довільні сталі.
Частинні розв’язки залежать від коренів характеристичного рівняння
.
Якщо :
характеристичне рівняння має дійсні і різні корені
; ; ,
то загальний розв’язок
;
характеристичне рівняння має дійсні і рівні корені
; ; ,
то загальний розв’язок
;
характеристичне рівняння має комплексно-спряжені корені
; ;
тоді ; , а загальний розв’язок
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (2.1) складається із суми двох розв’язків ,
де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (2.2)
– будь-який частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2.1)
Якщо права частина рівняння (2.1) має вигляд
,
де – многочлен степені n, а m – стале число, тоді:
якщо число m не співпадає з коренями характеристичного рівняння тоді
;
де Qn(x) – многочлен того ж степеня, що і , тільки з невизначеними коефіцієнтами;
якщо число m співпадає з одним із коренів характеристичного рівняння, тоді
;
якщо число співпадає з коренями характеристичного рівняння , тоді
;
коефіцієнти многочлена знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів.
Якщо права частина рівняння (2.1) має вигляд
; ;
де та – многочлени, тоді :
1) якщо число не співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді
де та – многочлени степеня n з невизначеними коефіцієнтами;
2) якщо число співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді
.
Коефіцієнти многочленів та також знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів (додаток 2).
Приклад 9. Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язання. За теоремою про структуру загального розв’язку неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами маємо
,
де – загальний розв’язок однорідного рівняння;
– частинний розв’язок усього рівняння.
Знайдемо спочатку загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння
Складемо характеристичне рівняння , та знайдемо його корені , . Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде
Знайдемо тепер частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Оскільки число і не співпадає з коренями характеристичного рівняння, тоді
|
2 |
|
+ |
–3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Скоротивши на і приводячи подібні отримаємо
(Обчисливши та і підставивши їх значення в неоднорідне рівняння знайдемо коефіцієнти методом невизначених коефіцієнтів). Прирівнявши коефіцієнти зліва та справа при однакових степенях x, матимемо систему
Тоді , а загальний розв’язок
Приклад 10. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язання. Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння дорівнює
.
Знайдемо спочатку загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння
.
Складемо характеристичне рівняння
, , тоді
Знайдемо тепер частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Оскільки число і співпадає з коренем характеристичного рівняння, тоді
|
4 |
|
+ |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Коефіцієнти і знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Прирівнявши зліва і справа коефіцієнти при функціях та матимемо
-
;
;
Тоді , а загальний розв’язок
.