- •Мелітополь
- •3. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до
- •1. Диференціальні рівняння першого порядку
- •1.1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •1.2. Однорідні диференціальні рівняння
- •1.3. Лінійні диференціальні рівняння та рівняння я. Бернуллі
- •2. Диференціальні рівняння другого порядку
- •2.1. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку
- •2.2. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •3. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до дослідження механічних та електричних коливань
- •3.1. Дослідження коливань пружної підвіски культиватора
- •3.2. Застосування лінійних диференціальних рівнянь до дослідження електричних коливань
- •3.3. Модель ринку з прогнозованими цінами
- •Розділ 2. Завдання для індивідуальної роботи Теоретичні питання
- •Розрахункові завдання
- •1. Знайти розв’язок задачі Коші
- •Література
- •Міністерство аграрної політики україни
- •Таврійський державний агротехнологічний університет
- •Кафедра вищої математики
- •Диференціальні рівняння
1. Диференціальні рівняння першого порядку
[1], глава ХІІІ, §§ 1-3
1.1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Диференціальне рівняння зветься з відокрем-люючими змінними, якщо функції та можна подати у вигляді добутку функцій залежних тільки від x і тільки від y, тобто
Приклад 1. Знайти загальний інтеграл .
Розв’язання. Відокремимо змінні, поділивши обидві частини рівняння на
, тоді
Інтегруючи почленно, одержимо загальний інтеграл
(довільну сталу зручно подати у вигляді , щоб можна було у подальшому спрощені пропотенціювати).
Потенціюючи, одержимо загальний інтеграл
Приклад 2. Знайти загальний інтеграл
Розв’язання. Запишемо похідну у вигляді , зведемо до спільного знаменника та розкладемо коефіцієнт біля dy на множники
;
Відокремимо змінні .
Інтегруючи, одержимо загальний інтеграл.
; .
1.2. Однорідні диференціальні рівняння
[1], глава ХІІІ, § 5
Диференціальне рівняння зветься однорідним, якщо функції та є однорідними функціями одного й того ж виміру. Якщо диференціальне рівняння подано у вигляді , то воно зветься однорідним, при цьому – однорідна функція нульового виміру. Однорідні диференціальні рівняння за допомогою заміни змінної зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюючими змінними.
Приклад 3. Знайти загальний інтеграл .
Розв’язання. Застосуємо заміну ;
;
Відокремимо змінні .
Інтегруючи, одержимо
; .
Застосуємо зворотну заміну
. Пропотенціюємо
, – загальний інтеграл.
Приклад 4. Знайти загальний інтеграл
Розв’язання. Застосовуємо заміну ,
,
Відокремимо змінні . Інтегруючи це рівняння, дістанемо
; .
Застосуємо зворотну заміну ;
– загальний інтеграл.
1.3. Лінійні диференціальні рівняння та рівняння я. Бернуллі
[1], глава ХІІІ, §§ 7-8
Диференціальне рівняння зветься лінійним, якщо воно лінійне відносно функції та її похідної , і не містить добутку .
В загальному вигляді лінійні рівняння мають вигляд
,
де P(x), Q(x) – відомі неперервні функції на деякому інтервалі [a,b].
Лінійні рівняння інтегруються за методом І.Бернуллі або за методом варіації довільної сталої.
Приклад 5. Знайти розв’язок задачі Коші ; .
Розв’язання. Знайдемо спочатку загальний розв’язок за методом І.Бернуллі. Будемо шукати розв’язок у вигляді добутку двох функцій змінної ;
, тоді .
Підставляємо ці значення та у рівняння
(1.1)
Згрупуємо члени рівняння (1.1), наприклад, відносно V.
. (1.2)
Так як одну із функцій або можна взяти довільною, то візьмемо U так, щоб вона була будь-яким частинним розв’язком рівняння
(1.3)
Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо
; ; ;
(1.4)
Підставляючи в рівняння (1.2) знайдене значення та враховуючи, що є розв’язок рівняння (1.3), одержимо знову диференціальне рівняння з відокремлюючими змінними для визначення V .
; ;
(1.5)
Маємо та , отже одержимо загальний розв’язок враховуючи (1.4) і (1.5)
З початкової умови, знайдемо С .
;
тоді є розв’язок задачі Коші.
Приклад 6. Знайти розв’язок задачі Коші
, (1.6)
Розв’язання. Знайдемо спочатку загальний розв’язок за методом варіації довільної сталої. Для цього знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння
.
Воно завжди є рівнянням з відокремлюючими змінними
; ; ;
Будемо тепер шукати загальний розв’язок неоднорідного рівняння в такому ж вигляді, як і однорідного, тільки С* будемо вважати невідомою функцією від x, тобто
(1.7)
Знайдемо (1.8)
Підставляємо (1.7) і (1.8) у рівняння (1.6)
;
; ;
(1.9)
Підставимо (1.9) в (1.7), одержимо загальний розв’язок рівняння (1.6)
Знайдемо С із початкової умови
– розв’язок задачі Коші
Зауваження. Аналогічними методами інтегруються рівняння Я.Бернуллі.