5. Теория прочности мора

( пятая теория прочности)

В теории прочности, предложенной О.Мором, в отличии от остальных классических теорий не используется предположение о каком-то одном факторе, определяющем прочность. Напряжённое состояние в точке может быть графически представлено на плоскости σ - τ системой кругов Мора, построенных по главным напряжениям σ_1, σ_2, σ₃, как это показано на рис. 17.2.

Рис. 17.2

Результаты опытов показывают, что наступление предельного состояния в основном определяется величиной наибольшего σ₁ и наименьшего σ₃ главных напряжений, и в гораздо меньшей степени зависит от напряжения σ₂ . Поэтому при оценке прочности из трёх кругов можно использовать только наибольший, который называют главным кругом. Если при этом напряжения σ₁ и σ₃ таковы, что напряжённое состояние является предельным, соответствующий им главный круг также называют предельным кругом.

Получив на основе испытаний при различных соотношениях между главными напряжениями семейство предельных кругов, можно построить их огибающую, которая называется предельной огибающей. Она представляет собой кривую, пересекающую горизонтальную ось в точке C, соответствующей всестороннему растяжению. Многие материалы при сжатии выдерживают гораздо большие напряжения, чем при растяжении, поэтому диаметры показанных на рис. 17.3 предельных кругов увеличиваются по мере продвижения в область отрицательных нормальных напряжений. Слева предельная огибающая оказывается незамкнутой, поскольку при всестороннем сжатии материал способен выдержать не разрушаясь чрезвычайно большие нагрузки.

Рис. 17.3

Если главный круг, соответствующий напряжённому состоянию в опасной точке конструкции, лежит внутри предельной огибающей, то можно считать, что прочность обеспечена. При этом отношение диаметров предельного и найденного главного кругов представляет собой коэффициент запаса прочности. Проблема состоит лишь в том, что построение предельной огибающей для всей области возможных сочетаний напряжений на практике неосуществимо. Поэтому действительную огибающую схематизируют, заменяя прямыми, касательными к двум предельным кругам, соответствующим осевому растяжению и осевому сжатию, как это показано на рис. 17.4

Рис. 17.4

Здесь , - опасные напряжения при растяжении и сжатии.

При такой замене для любого напряженного состояния, главный круг которого касается этих прямых (на рис.17.4 он показан пунктиром), справедлива линейная зависимость

σ₁ = а +bσ₃ (17.10)

Коэффициенты а и b находятся из граничных условий:

1) при растяжении , ;

2) при сжатии , .

Подставляя эти значения в (17.10), получаем

,

. (17.11)

Выражение (17.10) приобретает вид

,

или

Отсюда следует условие прочности по данной теории

(17.12)

Здесь R – расчётное сопротивление материала,

- коэффициент, учитывающий различие прочностных свойств при растяжении и сжатии. Под опасными напряжениями σ_оп для пластичных материалов понимаются пределы текучести, для хрупких – пределы прочности. Для пластичных материалов величина k близка к единице, и теория прочности Мора даёт результат, совпадающий с третьей теорией. Отметим, что наиболее достоверный результат по теории Мора получается для напряжённых состояний, у которых главные напряжения σ₁ и σ₃ различны по знаку, т.е. главные круги лежат между предельными кругами для растяжения и сжатия.

Из рассмотренных теорий прочности в настоящее время широко используются лишь три: для пластичных материалов критерии Треска - Сен-Венана и Мизеса (третья и четвёртая теории), для хрупких – теория прочности Мора. Подчеркнём, что, говоря о пластичных и хрупких материалах, мы имеем в виду не только природу самого материала, но и условия нагружения – вид напряжённого состояния, температуру и скорость деформирования, существенно влияющие на его свойства.