Лекция 8 напряжения в балке при чистом изгибе

Поставим перед собой задачу найти закон, по которому распределены напряжения в сечениях изогнутой балки. Рассмотрение начнём с самого простого случая, а именно – чистого изгиба, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент. При этом, как и раньше, будем предполагать изгиб плоским.

В

Рис. 8.1

качестве примера возникновения чистого изгиба может служить консольная балка, нагруженная сосредоточенным моментом на конце (рис. 8.1).

П

Рис.8.2

оперечные силы в такой балке отсутствуют, а изгибающий момент постоянен по её длине. Стоит отметить, что, несмотря на некоторую искусственность такого нагружения, чистый изгиб встречается на практике довольно часто. Дело в том, что появление чистого изгиба возможно при нагружении не только моментами, но также сосредоточенными и распределёнными силами. Так, участки АВ балок, изображённых на рис. 8.2, испытывают чистый изгиб.

Как отмечалось в самом начале изучения курса “Сопротивление материалов”, с помощью метода сечений и уравнений статики можно определить главный вектор и главный момент распределённых по сечению внутренних сил. Но для определения закона, по которому распределяются напряжения, одних уравнений равновесия недостаточно – необходимо привлечь условия деформации балки. Здесь на помощь вновь приходят экспериментальные данные. Рассмотрим балку, из легко деформирующегося упругого материала (например, поролона), на боковую поверхность которой нанесена сетка из продольных и поперечных прямых. Если подвергнуть такую балку чистому изгибу, то окажется, что продольные линии изогнутся, а поперечные останутся прямыми, повернувшись на некоторый угол. (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Это обстоятельство, а также некоторые несложные рассуждения приводят к выводу, что при чистом изгибе, как и при осевом растяжении справедлива гипотеза плоских сечений – поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются таковыми и после приложения нагрузки. Таким образом, деформацию при чистом изгибе можно рассматривать как результат взаимного поворота плоских поперечных сечений.

Мысленно вырежем из участка балки, находящегося в состоянии чистого изгиба, бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 8.4)

Рис. 8.4

Недеформированное состояние элемента показано пунктиром. После нагружения элемент искривляется. Поперечные сечения, которыми он выделен, поворачиваются в плоскости чертежа на некоторый малый угол dq. При этом верхние волокна элемента укорачиваются, нижние – растягиваются. Зону сжатия от зоны растяжения будет отделять слой волокон, длина которых остаётся прежней – dz. Этот слой волокон, не меняющий при изгибе своей длины, называют нейтральным слоем, он отмечен на рис. 8.4,а отрезком cd. Пересечение нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения образует прямую, которую называют нейтральной линией (см. рис. 8.4,б). Ось Оx, проходящая через нейтральную линию, называется нейтральной осью. По ширине балки все волокна деформируются одинаково.

Обозначим величиной ρ радиус кривизны нейтрального слоя. При этом ни положение нейтрального слоя, ни его кривизна нам пока неизвестны. Длину нейтрального слоя dz можно выразить через радиус кривизны и угол поворота сечений следующим образом:

dz = ρdq (8.1)

Обозначим длину слоя волокон, лежащих на произвольном расстоянии у от нейтрального слоя, отрезком аb, тогда будем иметь

аb = (ρ + у)dq

Поскольку до деформации все волокна имели одинаковую длину dz, разность отрезков аb и cd представляет собой абсолютное удлинение выделенных волокон: