2.5. Производная по направлению. Градиент

Частные производные и представляют собой производные от функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей ОX и ОY. Пусть z=f(x,y) – дифференцируемая функция в некоторой области D, М(х₀, у₀)D. Пусть - некоторое направление (вектор с началом в точке М), а =(cos, cos) – орт этого направления. Тогда производная функции z=f(x,y) по направлению в точке М(х₀, у₀) вычисляется по формуле:

Если вектор , то где

Теорема 1. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z=f(x,y), равна нулю.

По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить производную по направлению для функции трех переменных u=f(x,y,z).

, где cos, cos, cos - направляющие косинусы направления .

Теорема 2. Производная по направлению, касательному к поверхности уровня функции u=f(x,y,z), равна нулю.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами и . Обозначение: .

Теорема 3. Имеет место равенство = , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления .

Следствие. Вектор в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку, в сторону возрастания функции. При этом

.

Теорема 4. Скорость изменения функции f по некоторому направлению равна проекции вектора градиента на это направление, т.е. = . В случае функции u=f(x,y,z) градиент функции равен .

_____________________________

1. Найти производную функции z=x²-xy+y² в точке М(1;1) в направлении вектора .

2. Найти производную функции u=xy²z³в точке М(3;2;1) в направлении вектора , где N(5;4;2).

3. Найти производную функции z=ln(x²+y²) в точке М(3;4) в направлении градиента функции z.

4. Найти величину u направление градиента функции u=xyz в точке М(2;1;1).

______________________________

5. Найти производную функции u=ln(x²+y²+z²) в точке М(1;2;1) в направлении вектора и graduв точке М.

6. Найти производную функции z=3x²+5y² в точке А(1;-1) по направлению к точке В(2;1) и gradzв точке А.

_______________________________

Ответы: 1) 1,4; 2) ; 3) 0,4; 4) 5) ; 6) .

2.6. Экстремум функции двух переменных

Рассмотрим функцию z=f(x,y) двух переменных, определенную в некоторой области D. Функция f(x,y) имеет строгий локальный максимум (минимум) в точке М₀(х₀,у₀), если неравенство f(х₀, у₀)>f(х,у), (f(х₀, у₀)<f(х, у)) имеет место во всех точках М(х,у)М₀ из некоторой достаточно малой окрестности точки М₀.

Вопрос определения экстремумов (максимумов или минимумов) в некоторых случаях решается просто, если f(x,y) дифференцируемая функция в окрестности точек экстремума.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если f(x,y) – дифференцируема в точке (х₀, у₀) и имеет экстремум в этой точке, то

Точка (х₀, у₀) называется стационарной точкой функции f(х, у). Пусть (х₀, у₀) – стационарная точка функции f(x,y). Обозначим

.

Теорема (достаточные условия экстремума).

1) Если АС-В²>0 и A<0, то (х₀, у₀) – точка максимума.

2) Если АС-В²>0 и A>0, то (х₀, у₀) – точка минимума.

3) Если АС-В²<0 , то (х₀, у₀) – не является точкой экстремума.

4) Если АС-В²=0, то точка М₀(х₀, у₀) может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

________________________________

Исследовать функции на экстремум:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Ответы: 1). z_min(-3;2)= -10. 2) z_min . 3) z_min(4;4)=12. 4) z_min . 5) z_min(-5;-1)=1. 6) z_min(2;2)=0.