- •Математика Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
- •I курса очной формы обучения
- •Предисловие
- •Оглавление
- •Глава 1 Дифференцирование функций………………………………5
- •Глава 2. Функции нескольких переменных…………………………18
- •Глава 1. Дифференцирование функций
- •§ 1.1. Основные формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •§1.2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
- •§1.3. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
- •Правила Лопиталя
- •§1.4. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§1.5. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
- •§1.6. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
- •Глава 2. Функции нескольких переменных
- •2.1. Понятие функции нескольких переменных
- •2.2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций
- •2.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •2.5. Производная по направлению. Градиент
- •2.6. Экстремум функции двух переменных
- •Список рекомендуемой литературы
§1.6. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическимуравнениемкривой.
Если , то , а .
Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R3своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.
Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:
Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.
Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .
________________
1.6.1. Найти , еслиx=arccost, y=arcsint.
Ответ: .
1.6.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.
Ответ: .
1.6.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t=0; t=1.
Ответ: .
1.6.4. Определить кривизну кривой при t=1.
Ответ: .
Глава 2. Функции нескольких переменных
2.1. Понятие функции нескольких переменных
Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой упорядоченной паре (х,у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из которой области DR2 соответствует единственное число z.
Обозначения: z=f(x,y), z=F(x,y), z=z(x,y) и так далее.
Под функцией z=f(x,y)будем понимать также функцию точки М(х,у) с координатами х иу.
Множество D всех точек (х,у), при которых z=f(x,y) имеет смысл, называется областью определения, а множество значений z, принимаемых функцией z=f(x,y) при (x,y)D, называется областью изменения или множеством значений функции. Множеством точек пространства R3с координатами (x,y,z)=(x,y,f(x,y)) при всех (x,y)D, называется графиком функции z=f(x,y).
Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.
Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество всех точек плоскости Оху, в которых функция z принимает постоянное значение, т.е. f(x,y)=С, гдеС – постоянная.
__________________________
Найти и изобразить области определения следующих функций:
1. |
z=x2+y2. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
z=x+arccosy. |
6. |
. |
7. |
. |
8. |
. |
Построить линии уровня следующих функций:
9. |
z=x+y. |
10. |
. |
11. |
z=x2-y2. |
12. |
z=(1+x+y)2. |
___________________________
Ответы: 1. Вся плоскость Оху. 2. Плоскость Оху с выколотой точкой О(0;0). 3. Замкнутый круг х2+у2122. 4. Полосы 2nx(2n+1), y0; (2n+1)x(2n+2), y0, nz. 5. Полоса -1у1, хR. 6. Часть плоскости первой четверти, расположенная выше параболы ух(х0). 7. Две полуполосы: 8. Два вертикальных угла, ограниченных прямыми у=х и у=-х и содержащих ось ОY. 9. Линии уровня – прямые х+у=С, а график функции – это плоскость. 10. Линии уровня – равносторонние гиперболы ху=С, С>0 (они расположены в первой и третьей четвертях плоскости). 11. Линии уровня – равносторонние гиперболы. 12. Линии уровня – прямые, параллельные прямой х+у+1=0.