- •Математика Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
- •I курса очной формы обучения
- •Предисловие
- •Оглавление
- •Глава 1 Дифференцирование функций………………………………5
- •Глава 2. Функции нескольких переменных…………………………18
- •Глава 1. Дифференцирование функций
- •§ 1.1. Основные формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •§1.2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
- •§1.3. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
- •Правила Лопиталя
- •§1.4. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§1.5. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
- •§1.6. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
- •Глава 2. Функции нескольких переменных
- •2.1. Понятие функции нескольких переменных
- •2.2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций
- •2.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •2.5. Производная по направлению. Градиент
- •2.6. Экстремум функции двух переменных
- •Список рекомендуемой литературы
Глава 1. Дифференцирование функций
§ 1.1. Основные формулы дифференцирования
1) с′=0, где с – const; 2) (хn)′ = nxn-1;
3) (ax)′=axlna; 4) (ex)′=ex ;
5) (lgax)′= ; 6) (lnx)′= ;
7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx;
9) (tgx)′= ; 10) (ctgx)′= ;
11) (arcsinx)′= ; 12)(arccosx)′= ;
13) (arctgx)′= ; 14)(arcctgx)′= .
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда
1) (u(x)v(x))′=u′(x) v′(x);
2) (u(x) v(x))′=u′(x)v(x)+u(x) v′(x);
3) ;
4) (cf(x))′=cf′(x).
Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x)))′=f′(u)u′(x).
1.1.1. Найти производные следующих функций:
1)f(x)=3x2-5x+1; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11)y=x2sinx; 12) ;
13) ; 14) ;
15)y=xarcsinx ; 16) ;
17) ; 18) ;
19)y=xlnx ; 20) ;
21) ; 22)y=(sinx)log5x ;
23)y=2x+10x ; 24) ;
25)y=excosx ; 26) ;
27)y=(x2-10x+5)10 ; 28) ;
29) ; 30) ;
31)y=sin2x+cos5x ; 32)y=tgx2+ctgx3 ;
33)y=sin2x-3cos3x ; 34)y=tg35x ;
35)y=3sin2(2x+5) ; 36) ;
37) ; 38)y=ln(1-2x) ;
39) ; 40) ;
41) ; 42)y=(sinx)cosx ;
43)y=(x+5)2/x ; 44)y=(x2+1)sinx ;
1.1.2. Найти производные у′х неявных функций:
1) х2-5ху+8у3=5; 2) ;
3)l2x+l3y-5xy=0; 4)lxsiny+lycosx= ;
5)y-x=arctgy ; 6) .
______________________
1.1.3. Найти производные следующих функций:
1)y=x4-4x3+0,5x2-2x+3; 2) ;
3) ; 4)y=(x2+5x)sinx;
5) ; 6)y=(2x+5)7 ;
7) ; 8) ;
9) ; 10)y=ln(5-2x2);
11)y=lncos5x ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16)y=sin23x+sin9x2 ;
17) ; 18) .
1.1.4. Найти производные у′х неявных функций:
1) у2+х2=lnxy; 2)xsiny+ysinx=0.
§1.2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Пусть дана функция y=f(x).
К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М0(х0;у0). Угловой коэффициент касательной в точке М0 равен значению производной функции f(x) в точке х0, то есть k=tg=f′(x0).
Уравнение касательной, проходящей
через точку М0(х0;у0), имеет вид:
у-у0=f′(x0)(х-х0).
Прямая, перпендикулярная к
касательной и проходящая через
точку М0, называется нормалью.
Уравнение нормали в точке М0(х0;у0):
у-у0= (х-х0).
_________________
1.2.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:
а) у=х2-4х+3, х0=-1; б) у=х2е-х, х0=1;
в) у=-х2+6х-5
в точках пересечения с осью ОY.
Ответ: а) у=-6х+2; б) ; в)у=6х-5;
;у=-е+е+ ; -5.
1.2.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у=2х-1?
Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).
1.2.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х0=-1.
Ответ: 4,5.
1.2.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x2+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.
Ответ: 2.
1.2.5. Написать уравнения касательных к окружности х2+у2+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.
Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.
1.2.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х2-у2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.
Ответ: ; (40;40).
_____________
1.2.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:
а) у=х3, х0= -2; б) у=2х-х2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;
в) у=2х2-5, у=х2-3х+5 в точках пересечения этих кривых.
Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;
; ; ;
в) у=8х-16; у= ; у=-20х-100; у= ; у=х-2; у= -х+2; у= -13х-65; у= .
1.2.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у=2х-5?
Ответ: (0;-1); (-2;3).
1.2.9. Написать уравнения касательных к астроиде х2/3+у2/3=а2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.
Ответ: .