§1.3. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
Пусть дана функция
y=f(x);
производная от этой функции y′=f′(x).
Производная от этой производной
называется производной
второго порядка
функции y=f(x),
которая обозначается как y"или
f"(x)=
.
Аналогично
определяются производные более высокого
порядка f(n)(x)=
.
Правила Лопиталя
Первое правило.
Неопределенность
.
Если
,
то
.
Второе правило.
Неопределенность
.
Если
,
то
.
Неопределенности вида 0∞; ∞-∞; 1∞;00 сводятся к неопределенностям , путем алгебраических преобразований.
______________
1.3.1. Найти производные второго порядка:
а)
y=cos2x;
б)
y=arctgx2 ;в)
;
г)
;
д)
.
1.3.2. Найти f'(0), f"(0), f"'(0) еслиf(x)=e2xsin3x.
1.3.3. Вывести формулу для производной n – го порядка для функций:
а) y=xm; б) у=ах.
Ответ: а) у(n)=m(m-1)…(m-n+1)xm-n. б)y(n)=ax(lna)n.
1.3.4. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Ответ: а)
;
б) 1; в) ∞; г) 1/2; д) 1; е)1; ж) 1; з)0; и) 1; к)1.
_________________
1.3.5. Найти производные второго порядка:
а) у=(х2-10х+5)5; б) y=sin2x;
в)
;
г) у=ln(x3-2x2+4).
1.3.6. Найти выражение для n-й производной следующих функций:
а) у=3х; б) у=cosx; в) y=sin2x.
1.3.7. Найти пределы:
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Ответ: а) 1; б) 0; в)0; г)10; д) -1/3; е)∞; ж) -1; з) 1; и) 1; к)1.
§1.4. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой - окрестности этой точки f(x0-h)<f(x0)<f(x0+h).
Убывающей – если f(x0+h)<f(x0)<f(x0-h), где 0<h<.
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х1 и х2 этого отрезка из неравенства х1>х2следует неравенство f(х1)>f(х2). Если же из неравенства х1>х2следует, что f(х1)<f(х2), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].
Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)
Если y'>0 для всех х[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y'<0 для х[a,b], то функция на [a,b] убывает.
Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x)=0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.
В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х0 можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х0 – максимум, если с – на + , то в точке х0 – минимум.
Если производная y' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x)на отрезке[a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
__________________
1.4.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:
а) у=2-3х+х3; б) у=хе-х;
в) у=(х-2)2(х+2); г) y=ln(x2-2x+4).
Ответ: а) (-∞;-1)(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;
б) (-∞;1) – возрастает; (1;∞) – убывает;
в) (-∞;-1)(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;
г) (-∞;1)– убывает; (1;∞) – возрастает;
1.4.2. Найти экстремумы функций:
а)
;
б) y=ln(x2+1);
в)
;
г) у=(х-1)6/7.
Ответ: а) уmin=y(0)=0;
ymax=
;
б)уmin=y(0)=0;
в)
уmax=y(1)=
;
ymin=
;
г)уmin=y(1)=0.
1.4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:
а) у=х4+2х2+5,
х[-2,2];
б)
,
х[-6,8];
в) , х[0,4]; г) y=2tgx-tg2x, х[0,π/2].
Ответ: а) 29,5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) унаиб=1.
_______________
1.4.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:
а) у=(2-х)(х+1)2; б) у=х3-6х+5;
в) у=х+е-х; г) y=xlnx.
Ответ: а) (-∞;-1)(1;∞) – убывает; (-1;1) – возрастает;
б)(-∞;-2)(2;∞) – возрастает; (-2;2) – убывает;
в) (-∞;0) – возрастает; (0;∞) – убывает;
г) (0;1/е) – убывает; (1/е;∞) – возрастает.
1.4.5. Найти экстремумы функций:
а)
;
б)
.
Ответ: а) ymax=y(11/4)=13/4; б) ymin=y(e)=e.
1.4.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:
а)
,
х[0,4];
б)
,
х[0,1];
в)
,
х[0,1].
Ответ: а) 8;0; б) 1; 3/5; в) π/4; 0.