2.2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал

Производная функции z=F(x,y) по х, найденная в предположении, что у остается постоянным, называется частной производной zпо х и обозначается или F'_x(x,y).

Аналогично определяется и обозначается частная производная zпоу: или F'_у(x,y). Если функция z=F(x,y)имеет в точке (х,у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде

.

Тогда выражение есть главная часть полного приращения ; она называется полным дифференциалом функции и обозначается dz: , (здесь dx=x, dy=y – произвольные приращения аргументов).

____________________________

Найти частные производные функций:

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.		14.	.

Найти полные дифференциалы функций:

15.	.	16.	.
17.	.	18.	.

Ответы: 1. .

2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. ;

. 11.

12. 13.

14. 15. .

16. .

17. . 18.

2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций

А) Еслиz=F(x,y), x=f(t), y=(t), тоzназывается сложной функцией от t. При этом , если функции F,f, - дифференцируемы.

Б) Еслиz=F(x,y), гдеx=f(u,v), y=(u,v), и если функции F,f, - дифференцируемы, то .

В) Уравнение F(x,y)=0, имеющее решение (х₀, у₀), определяет в окрестности х₀ переменную у как непрерывную функцию х. В этом случае говорят, что у – неявная функция от х. Если в окрестности х₀ , то производная неявной функции находится по формуле

.

Г) Уравнение F(x,y,z)=0 определяет z, как неявную функцию двух переменных х и у. Ее частные производные вычисляются по формулам .

_________________________

1. Найти , если

а) ; б) .

2. Найти и если

а) ; б) .

3. Найти производную y'(x)неявной функции, заданной уравнением:

а) х²+у²-4х+6у=0; б) x²lny-y²lnx=0.

4. Найти и для неявной функции z=z(x,y), определенной уравнением .

________________________

5. Найти указанные производные:

а) . Найти .

б) . Найти и .

в) Найти y'(x) если .

Ответы: 1. а) ; б) .

2. а) .

б) .

3. а) .

4. а)

5. а) .

б) ;

.

в) .

2.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

А) Пусть поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0 и на ней зафиксирована точка М(x₀,y₀,z₀). Уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке имеет вид

F'_x(x₀,y₀,z₀)(x-x₀)+ F'_y(x₀,y₀,z₀)(y-y₀)+ F'_z(x₀,y₀,z₀)(z-z₀)=0.

Уравнения нормали к поверхности в точке М(x₀,y₀,z₀):

.

Б) Если поверхность задана уравнением z=f'(x,y) и на ней зафиксирована точка М(x₀,y₀,z₀), то уравнение касательной плоскости и поверхность в этой точке будет иметь вид:

z-z₀= z'_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ z'_y(x₀,y₀)(y-y₀),

а уравнение нормали:

.

_______________________

1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке.

а) х²+3у²-4z²=15, M(2;-3;2);

б)z=x²+2y², M(1;1;3).

2. К поверхности х²+2у²+3z²=21 провести касательные плоскости,параллельные плоскостих+4у+6z=0.

_______________________

3. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности х²z+у²z=5 в точке (-2;1;1).

4. Определить плоскость, касательную к поверхности х²+4у²-z²=36, и параллельную плоскости x+y-z=0.

_________________________

Ответы: 1. а) 2х-9у-8z-15=0 – уравнение касательной плоскости - уравнения нормали, б) 2х+4у-z=3 – уравнение касательной плоскости; - уравнение нормали.

2. х+4у+6z=21.

3. -4x+2y+5z+1=0, .

4. x+y-z=9.