2.5. Сейсморазведочные иис как линейные системы
Как
известно, прямая задача геофизических
методов разведки (в
т.ч. и сейсморазведки)
описывается выражением
(9),
где
сейсмическое волновое поле (здесь
- расчетное);
модель среды;
оператор решения прямой задачи.
Целью
геофизической разведки является решение
обратной задачи – нахождение модели
среды по наблюденному полю (
): 
(10),
т.е. поиск оператора -1,
обратного оператору .
Существующие методы решения обратных задач предполагают линейность оператора прямой задачи. Т.Е.: сейсмическая разведка и сейсморазведочные ИИС рассматриваются как линейные системы. (Предположение о линейности свойств среды лежит и в основе теории сейсмических волновых полей).
Сейсморазведочные ИИС в своей регистрирующей части осуществляют линейные преобразования:
uвых = {uвх} (11), где uвх – упругие колебания среды, где установлен сейсмоприемник (грунта); uвых – зарегистрированный сигнал; оператор линейного преобразования, реализуемого ИИС.
Свойства линейных преобразований (по Ю.В. Напалкову)
1.
Аддитивность: Если {xi}
= yi, то {x1+x2}={x1}+{x2}
или в общем виде: 
(12)
2. Однородность: {nx} = n{x} (13) (Вытекает из св-ва аддитивности (12), если положить xi =const(i))
Операции над линейными преобразованиями.
~ Сумма линейных преобразований 1 и 2 есть линейное преобразование , сопоставляющее величины x и y в соответствии с равенством y = 1{x} + 2{x}, т.е. y = {x} = 1{x} + 2{x} = (1 + 2){x} (14)
~ Произведение линейных преобразований 1 и 2 есть линейное преобразование , которое получается путем последовательного применения преобразований 1 и 2 {x}: y = {x} = 2{1{x}} = (21){x} (15)
~ Сумма и произведение линейных преобразований – также линейное преобразование:
= 1 + 2 {x1 + x2} = 1{x1 + x2} + 2{x1 + x2} = 1{x1} + + 1{x2} + 2{x1} + 2{x2} = (1 + 2){x1} + (1 + 2){x2}=
= {x1} + {x2} (16)
Следствие из (16): {nx} = 1{nx} + 2{nx} = n1{x} + n2{x} = n{x} (17)
= 21 {x1 + x2} = 2{1{x1 + x2}} = 2{1{x1} + + 1{x2}} = 2{1{x1}} + 2{1{x2}} = {x1} + {x2} (18)
Следствие из (18): {nx} = (21){nx} = 2{1{nx}} = = 2{n1{x}} = n(21){x} (19)
Принцип суперпозиции вытекает из аддитивности линейного преобразования и предполагает независимость прохождения нескольких сигналов через линейную систему:
– Если через линейную систему, осуществляющую преобразование , проходит несколько сигналов (n), то каждый из них (i-тый) независимо от других создает на выходе системы сигнал yi = {xi}, а результирующий сигнал на выходе системы (в соответствии с (12)) будет являться суперпозицией отдельных выходных сигналов:
y
=
(20)
Опираясь на принцип суперпозиции можно оценить реакцию линейной системы на прохождения сложного сигнала как сумму реакций на составляющие сложного сигнала. Чаще всего в качестве составляющих рассматриваются либо единичные импульсы, либо гармонические функции (последние являются основой спектрального анализа).