§6. Понятие о статистических гипотезах.

С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса, об эффективности нового метода обучения, управления, о пользе вносимого удобрения, лекарства, об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т.д.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известного распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают H₀.

Наряду с выдвинутой гипотезой H₀ рассматривают и противоречащую ей, так называемую альтернативную (или конкурирующую) гипотезу. Её обозначают H₁.

В итоге статистической проверки гипотез могут быть допущены ошибки двух типов.

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергнута нулевая гипотеза, когда она верна. Вероятность совершить ошибку первого рода обозначают α и называют уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что принята нулевая гипотеза, когда верна конкурирующая. Последствия этих ошибок могут оказаться различными, они зависят от конкретной задачи.

Если обозначить вероятность совершить ошибку второго рода за β , то 1 - β вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая. Её называют мощностью критерия.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

Случайная величина K, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называется статистическим критерием.

Для проверки гипотезы по выборке вычисляют значение критерия и получают так называемое наблюдаемое значение критерия K_набл.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия K_набл принадлежит критической области, гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия K_набл принадлежит области принятия гипотезы, гипотезу принимают.

Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками и обозначаются K_кр.

Различают следующие критические области:

• правостороннюю (K_кр; +∞ );

• левостороннюю (-∞; K_кр );

• двустороннюю (-∞; K_кр1 ) U (K_кр2; +∞), где K_кр1 < K_кр2 .

Для нахождения критических точек задают достаточно малую вероятность — уровень значимости α, и K_кр находят из требования:

P (K > K_кр ) = α - для правосторонней критической области;

P (K < K_кр ) = α - для левосторонней критической области;

P (K < K_кр1 ) + P (K > K_кр2 ) = α - для двусторонней критической области.

Для каждого критерия имеются таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую необходимому требованию.

Пусть нулевая гипотеза принята. Ошибочно думать, что тем самым она доказана.

Более правильно говорить: «данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой, и, следовательно, не дают оснований её отвергнуть». На практике для большей уверенности гипотезу проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объём выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, достаточно привести один пример, противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть.

Если функция распределения случайной величины заранее неизвестна, возникает необходимость её определения по эмпирическим данным. Критерии, которые позволяют судить, согласуются ли значения x₁, x₂,... x_n величины X с гипотезой относительно её функции распределения, называются критериями согласия.

Наиболее распространённые в практическом применении: критерий ^χ2 , критерий Пирсона, критерий Колмогорова.

18