§ 2.Эмпирическая функция распределения.

Пусть наблюдается некоторая случайная величина Х. Ее функция распределения F(х) неизвестна. Как с помощью опытных данных получить приближение этой функции?

Пусть n – объем выборки, n_x - число наблюдений, при которых полученное значение величины Х меньше x.

Тогда относительная частота события (X < x ) равна .

Напомним, что F(х) = P(X < x).

Приближением для вероятности служит частота, поэтому естественно ввести статистический аналог функции распределения

F*(x) =

Функция F*(х) называется эмпирической функцией распределения.

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию (по аналогии с функцией распределения для дискретной случайной величины).

Пример 1 (см.выше):

0	2	3	4	6
7/25	7/25	5/25	2/25	4/25

0 , x ≤ 0

7/25, 0 < x ≤ 2

1 4/25, 2 < x ≤ 3

19/25, 3 < x ≤ 4

21/25, 4 < x ≤ 6

1, x > 6

Для интервального вариационного ряда имеем лишь значения функции F*(x) на концах интервала. Поэтому для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой.

Пример 2 (см.выше):

(-20; -15]	(-15; -10]	(-10; -5]	(-5; 0]	(0; 5]	(5; 10]	(10; 15]
0,08	0,11	0,18	0,26	0,19	0,12	0,06

Свойства F*(x):

1) значения F*(x) принадлежат отрезку [0; 1];

2) F*(x) – неубывающая функция;

3) F(x) = 0 при x ≤ λ₁ (наименьшего значения);

4) F(x) = 1 при x > λ_m (наибольшего значения).

§ 3 Оценки параметров.

На практике чаще встречаются ситуации, когда изучаемый закон распределения ясен из каких-либо теоретических соображений.

Остаётся найти некоторые параметры, от которых он зависит. В этом и состоит третий этап обработки выборки (1 этап -составление вариационного ряда, 2 этап - составление эмпирического закона распределения).

Определение приближённых значений параметров распределения случайной величины по выборке называется статистическим оцениванием параметров, а полученные при этом приближённые значения параметров называются статистическими оценками.

Оценка называется точечной, если она представляет собой одно число.

Пусть закон распределения случайной величины Х содержит некоторый параметр t, численное значение которого неизвестно. Требуется оценить значение параметра t, исходя из значений величины Х, полученных в результате n независимых опытов: , , …, .

_{Любая оценка} параметра t зависит от , ,…, ,т.е

= ( ; ; …; )

К оценке предъявляются следующие требования:

1. М( )=t

В этом случае оценка называется несмещённой. Это требование весьма важно при малом числе опытов.

2. 

т.е . случайная величина концентрируется у t. Такую оценку называют состоятельной.