Регрессионный и корреляционный анализ

Часто можно установить определенную связь между вариациями по различным признакам. Например, чем больше размер животного, тем обычно больше его вес. Кроме того, известно, что в однородном стаде те коровы, в молоке которых больший процент жира, дают обычно меньший удой. Здесь связь не функциональная, а каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой величины. Такого рода зависимость называют корреляционной.

Две случайные величины X и Y находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой величины.

Условным математическим ожиданием (УМО) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений величины Х на их условные вероятности: , где - условная вероятность равенства , при условии, что

Для непрерывных величин:

где - плотность вероятности непрерывной с. в. Х при условии

УМО есть функция от y: которую называют функцией регрессии величины Х от величины Y. Аналогично определяется УМО случайной величины Y и функция регрессии Y на Х:

Уравнение называется уравнением регрессии Х на Y (Y на Х), а линия на плоскости, соответствующая этому уравнению, называется линией регрессии. Линия регрессии Y на Х (Х на Y) показывает, как в среднем зависит Y от Х (Х от Y).

Если Х, Y – независимые случайные величины, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий M(XY)=M(X) M(Y), в противном случае – равенство не соблюдается.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин Х и Y называют безразмерную величину:

,

характеризующую «меру связи» этих случайных величин. Легко видно, что выполняется соотношение: , поэтому в короткой записи:

Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(y) и g(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми, они называются прямыми регрессии.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Если X, Y - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0, r=0 (нет линейной корреляции между Х и Y).

2. Величина коэффициента корреляции по модулю не превосходит 1: (примем без доказательства). В частности, если то между случайными величинами Х и Y имеет место функциональная (линейная) зависимость.

3. Если <1, , то между Х и Y существует корреляционная зависимость. При этом, чем «теснее» связь между Х иY, тем ближе к 1.

Задача: Для десяти молодых сосен были произведены измерения общей длины ствола (Х, см) и длины его части без ветвей (Y, см). Результаты измерений представлены в таблице:

Х	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115
Y	14	18	19	20	23	23	24	26	29	34

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х.

Выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу, в которой результаты измерений, а также необходимые промежуточные значения, записаны столбцами:

xi	yi		(
25	14	–45	2025	–9	81	405
35	18	–35	1225	–5	25	175
45	19	–25	625	–4	16	100
55	20	–15	225	–3	9	45
65	23	–5	25	0	0	0
75	23	5	25	0	0	0
85	24	15	225	1	1	15
95	26	25	625	3	9	75
105	29	35	1225	6	36	210
115	34	45	2025	11	121	495
700	230	0	8250	0	298	1520

В последней строке таблицы указаны суммы по столбцам.

1) Рассчитаем средневыборочные:

2).Рассчитаем исправленные дисперсии:

Откуда исправленные среднеквадратические:

3). Рассчитаем выборочное значение коэффициента корреляции:

Таким образом: у обследованных сосен имеет место сильная прямая корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

4). Найдем выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. Это уравнение имеет вид: За приближенные значения принимают, соответственно: Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х, получим: или Окончательно: - искомое уравнение прямой регрессии Y на Х.