Развертки поверхностей

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается взаимное однозначное соответствие, т.е. каждой точке и линии на поверхности соответствует точка и линия на развертке.

Развертываемым называются такие поверхности, у которых при развертывании сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площадь фигур, ограниченных замкнутыми линиями. К развертываемым поверхностям относятся все многогранники и линейчатые поверхности вращения. Построение разверток таких поверхностей сводится к определению натуральных величин всех элементов поверхности и последовательному изображению их на плоскости.

Все остальные поверхности не развертываются, и при изготовлении их макетов их развертывают условно, т.е. приближенно.

Развертка прямого кругового цилиндра

На фронтальной плоскости проекций высота прямого кругового цилиндра проецируется в натуральную величину, а на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину проецируется его основание (рисунок 56). Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра является прямоугольник, длина которого равна длине окружности его основания (2ПR), а высота равна высоте цилиндра. Основания цилиндра на развертке представляют собой окружности, равные горизонтальному очерку цилиндра.

Рисунок 56. Развертка прямого кругового цилиндра

Развертка прямого кругового конуса

У прямого кругового конуса длина всех образующих одинакова, и в натуральную величину она проецируется на фронтальной плоскости проекций. На горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину проецируется его основание (рисунок 57).

Разверткой боковой поверхности является сектор окружности, радиус которой равен длине образующей L, а угол φ = R×360˚/ L, где R – радиус основания конуса. Основания конуса на развертке представляет собой окружность, равную горизонтальному очерку конуса.

Рисунок 57. Развертка прямого кругового конуса

Развертка наклонной пирамиды

Развертка наклонной пирамиды строится способом треугольников. Для построения развертки сначала необходимо определить натуральные величины всех ее граней (рисунок 58).

Поскольку основание пирамиды треугольник АВС расположен параллельно горизонтальной плоскости проекций, то его горизонтальная проекция abc является натуральной величиной основания пирамиды. Для определения натуральной величины ребер пирамиды используется способ плоскопараллельного перемещения. Фронтальные проекции ребер a's', b's', c's' ставятся параллельно оси Х – s' a₁', s' b₁', s' c₁'. На горизонтальной плоскости проекций точки a, b и с перемещаются по следам плоскостей, которые параллельны между собой и параллельны оси Х. На соответствующие следы плоскостей опускаются по линиям связи точки a₁, b₁, c₁. Соединив полученные точки с неподвижной вершиной s, определяем натуральные величины ребер пирамиды.

Рисунок 58. Определение натуральных величин ребер пирамиды

Для того чтобы перенести на развертку точку 1, необходимо построить ее недостающую горизонтальную проекцию. Поскольку точка 1' видимая, то она лежит на видимой грани пирамиды a'b'. Для построения ее горизонтальной проекции необходимо через 1' провести вспомогательную образующую, зафиксировать точку пересечения этой образующей со стороной треугольника a'b', найти эту точку на горизонтальной плоскости проекций, построить горизонтальную проекцию этой образующей и на нее опустить по линии связи искомую точку 1. Далее определить натуральную величину вспомогательной образующей, так же как и ребер пирамиды и перенести на нее точку 1.

Для построения развертки пирамиды на свободном месте чертежа провести произвольную прямую и зафиксировать на ней произвольную точку – это будет вершина пирамиды S (рисунок 59). На этой прямой отложить отрезок, равный натуральной величине ребра А. Далее из точки S с помощью циркуля провести дугу, радиус которой равен натуральной величине ребра В, а из точки А провести дугу, радиус которой равен стороне треугольника АВ. Точка пересечения этих дуг определяет положение точки В. Для построения точки С из вершины пирамиды S проводится дуга радиусом равным натуральной величине ребра С, а из точки В – дуга радиусом равным стороне

Рисунок 59. Развертка наклонной пирамиды

треугольника ВС. Точка пересечения дуг определяет положение точки С. Аналогично достраивается грань пирамиды CAS, при этом используются натуральные величины ребра А и стороны треугольника АС. Последовательно соединяя полученные точки между собой и с вершиной S, получается развертка боковой поверхности пирамиды, которая представляет собой три треугольника, т.е. три ее грани. Для построения основания пирамиды к любой из сторон АВ, ВС или СА достраивается недостающая точка, при этом используются натуральные величины сторон треугольника.

Для того, чтобы перенести на развертку точку 1, необходимо построить на ней вспомогательную образующую, для чего на грани АВ от одной из точек А или В отложить отрезок, равный расстоянию от этой точки до начала образующей, замерив его на горизонтальной плоскости проекций, и соединить полученную точку с вершиной пирамиды S. По этой образующей отложить отрезок s1₁, замерив его вдоль натуральной величины вспомогательной образующей.