Контр работа 2

Контрольная работа № 2

по численным методам для студентов 4 курса ОЗО

специальности «Информатика»

Контрольная работа №2 состоит из 5 заданий. Оформлять контрольную работу можно письменно, однако в печатном виде предпочтительнее, так как многие задания необходимо выполнять в MS Excel и приводить результаты в виде таблиц и графиков. При этом в каждом задании предполагается выполнение части вычислений «вручную», что позволит лучше определить степень освоения студентом соответствующего численного метода. Необходимо также отражать требующиеся в заданиях аналитические выкладки и пояснения. В каждом задании обязательно выделяется ответ (ответы).

Задание 1. Найти приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений

методом простой итерации с точностью до ε = 0,005, взяв в качестве начального приближения x⁽⁰⁾ вектор свободных членов приведенной системы.

Порядок выполнения задания:

1) Преобразовать систему к приведённому виду.

2) Проверить условие сходимости итерационной последовательности.

3) Найти «вручную» вектор-приближение x⁽²⁾ и оценить его погрешность.

4) Организовать решение системы с заданной точностью в MS Excel с выводом таблицы c координатами векторов x^(k) и их абсолютных погрешностей E_k :

k x₁ x₂ x₃ E_k

-------------------------------------------

1 x x x E₁

2 ………………………………….

…………………………………..

где E_k = .

5) Определить верные цифры каждой координаты найденного решения и записать это решение с округлением координат до верных цифр.

Данные по вариантам:

Вариант	M	N	P		Вариант	M	N	P
1	1,12	–0,28	1,22		16	1,14	–0,14	1,91
2	1,15	–0,27	1,51		17	1,23	–0,13	1,97
3	1,20	–0,26	1,25		18	0,95	0,28	2,03
4	1,15	–0,25	1,29		19	0,93	0,27	2,09
5	1,18	–0,24	1,35		20	0,91	0,26	2,15
6	1,21	–0,23	1,41		21	0,89	0,25	2,21
7	1,24	–0,22	1,47		22	0,87	0,24	2,27
8	1,27	–0,21	1,53		23	0,85	0,23	2,33
9	1,29	–0,2	1,59		24	0,83	0,22	2,39
10	1,21	–0,19	1,65		25	0,81	0,21	2,45
11	1,23	–0,18	1,71		26	0,89	0,2	2,51
12	1,25	–0,17	1,77		27	0,87	0,19	2,57
13	1,27	–0,16	1,83		28	0,85	0,18	2,63
14	1,29	–0,15	1,89		29	0,83	0,17	2,69
15	1,30	-0,22	2,01		30	0,80	0,20	2,60

Задание 2. Дана таблица значений функции y = :

x	sinx	x	sinx	x	sinx	x	sinx
1.0	0.8415	1.5	0.9975	2.0	0.9093	2.5	0.5985
1.1	0.8912	1.6	0.9996	2.1	0.8632	2.6	0.5155
1.2	0.9320	1.7	0.9917	2.2	0.8085	2.7	0.4274
1.3	0.9636	1.8	0.9738	2.3	0.7457	2.8	0.3350
1.4	0.9854	1.9	0.9463	2.4	0.6755	2.9	0.2392

Необходимо:

а) найти по формуле линейного интерполирования приближенные значения функции sinx для заданных аргументов a, b;

б) найти абсолютные погрешности полученных значений по формуле оценки погрешности линейной интерполяции и определить верные значащие цифры этих значений;

в) вычислить при помощи калькулятора или компьютера более точные значения sinx в заданных аргументах и проверить, совпадают ли найденные в пункте б) верные цифры с соответствующими цифрами более точных значений.

Данные по вариантам:

вариант	a	b	вариант	a	b
1	1.23	2.57	16	1.07	2.68
2	1.15	2.43	17	1.25	2.72
3	1.34	2.86	18	1.13	2.65
4	1.57	2.61	19	1.37	2.83
5	1.48	2.76	20	1.16	2.52
6	1.32	2.56	21	1.22	2.64
7	1.25	2.73	22	1.12	2.45
8	1.13	2.89	23	1.28	2.77
9	1.06	2.74	24	1.36	2.53
10	1.62	2.88	25	1.08	2.84
11	1.47	2.75	26	1.37	2.75
12	1.19	2.62	27	1.02	2.73
13	1.44	2.73	28	1.26	2.66
14	1.18	2.66	29	1.37	2.52
15	1.05	2.43	30	1.48	2.87

Задание 3. Дана таблица значений некоторой функции y=f(x).

Необходимо:

а) построением точек таблицы на координатной плоскости убедиться, что зависимость y = y(x) близка к линейной;

б) найти функцию y = ax + b , являющуюся наилучшим приближением к данной табличной функции по методу наименьших квадратов;

в) начертить на плоскости с точками таблицы график полученной функции;

г) найти все уклонения этой функции от табличных значений и ее среднеквадратичное уклонение.

Указание: расчеты вести с двумя цифрами после запятой.

Таблицы по вариантам:

вариант	Таблица
1	x 1.20 1.45 1.70 2.10 2.35 2.80 y 2.10 2.60 2.75 3.00 3.50 3.85
2	x 0.15 0.35 0.50 0.80 1.15 1.55 y 1.10 1.45 1.65 1.70 2.30 2.50
3	x -0.50 -0.35 -0.10 0.15 0.50 0.70 y 0.45 0.60 1.05 1.25 1.50 1.60
4	x -0.70 -0.35 0.10 0.50 0.65 0.90 y 1.20 1.75 2.05 2.60 2.75 3.05
5	x 0.55 0.80 1.20 1.55 1.80 2.05 y 2.50 2.80 3.35 3.60 3.95 4.00
6	x 1.00 1.40 1.55 1.95 2.30 2.55 y 3.05 3.20 3.65 4.00 4.45 4.70
7	x 0.50 0.75 1.05 1.30 1.60 1.95 y -0.40 -0.30 0.00 0.20 0.75 1.10
8	x 0.10 0.45 0.70 0.95 1.30 1.65 y -0.85 -0.60 -0.40 0.05 0.45 0.70
9	x -0.60 -0.25 -0.10 0.25 0.60 0.80 y -1.50 -1.30 -0.95 -0.65 -0.35 -0.10
10	x 1.05 1.40 1.50 1.85 2.10 2.45 y 0.00 0.50 0.55 0.70 0.95 1.45
11	x 0.60 0.85 1.20 1.35 1.60 2.00 y 0.30 0.25 -0.10 -0.25 -0.50 -0.90
12	x -1.50 -1.05 -0.70 -0.40 -0.15 0.10 y -0.50 0.05 0.35 0.70 0.95 1.15
13	x -0.35 0.00 0.25 0.55 0.80 1.05 y 0.25 0.05 -0.15 -0.60 -0.70 -0.95
14	x 0.30 0.50 0.85 1.25 1.60 1.90 y 1.20 1.55 1.75 2.30 2.70 2.80
15	x 0.85 1.25 1.60 1.80 2.15 2.60 y -0.05 0.10 0.55 0.85 1.25 1.50
16	x -1.20 -0.90 -0.65 -0.30 -0.10 0.25 y -0.10 0.05 0.45 0.80 0.85 1.15
17	x 0.05 0.35 0.50 0.80 1.10 1.55 y 2.00 2.45 2.45 2.70 3.15 3.70
18	x 1.10 1.45 1.60 1.90 2.35 2.60 y 0.00 0.35 0.65 1.05 1.25 1.65
19	x 0.50 0.75 1.05 1.40 1.50 1.90 y 0.95 1.60 2.10 2.70 3.05 3.70
20	x 0.10 0.35 0.70 1.00 1.25 1.55 y 0.15 0.80 1.45 1.90 2.65 3.00
21	x -0.60 -0.35 -0.10 0.25 0.45 0.70 y -1.20 -0.60 -0.30 0.40 1.05 1.35
22	x 0.40 0.65 0.95 1.30 1.50 1.85 y 0.15 0.45 0.50 0.70 0.85 2.05
23	x 0.85 1.30 1.55 1.80 2.10 2.45 y 0.40 0.70 0.75 0.95 1.20 1.35
24	x -0.50 -0.20 0.00 0.30 0.55 0.95 y 0.40 0.80 0.90 1.40 1.50 2.05
25	x 1.10 1.30 1.55 1.95 2.20 2.50 y -0.80 -0.70 -0.50 0.05 0.10 0.60
26	x 2.10 2.45 2.65 2.90 3.15 3.50 y 1.05 1.55 1.60 1.80 2.25 2.40
27	x 1.80 2.05 2.40 2.70 2.90 3.25 y 0.70 1.05 1.50 1.65 2.00 2.10
28	x 0.10 0.40 0.55 0.90 1.35 1.70 y 1.05 1.30 1.65 1.80 2.30 2.95
29	x -0.75 -0.30 -0.05 0.30 0.75 0.90 y 0.20 0.80 0.90 1.35 1.60 1.95
30	x -0.20 0.05 0.50 0.70 0.95 1.25 y -0.30 0.15 0.90 1.50 1.80 2.50