Линеаризация уравнений динамики

Достаточно часто встречаются звенья, имеющие нелинейную зависимость между входной и выходной координатами. Если для малых отклонений от установившегося режима нелинейность несущественна, то в этом случае до составления исходных дифференциальных уравнений САУ выполняют процедуру линеаризации.

Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений статических характеристик элементов близкими к ним линейными уравнениями. Линеаризация возможна, если нелинейная характеристика непрерывна и имеет непрерывные частные производные. На рис.2.2 приведена геометрическая интерпретация линеаризации по методу малых отклонений.

Рис.2.2. Геометрическая интерпретация линеаризации

Разложив функцию y=f(x) в ряд Тейлора, получим

,

где y₀ – значение выхода, соответствующее входу x₀; d^ky/dx^k – значения производных, взятых в точке А(x₀;y₀). Тогда для малых отклонений x:

или ,

где при x=x₀.

Если выходная величина элемента зависит от нескольких входных воздействий, то при линеаризации по методу малых приращений следует определять частные производные по всем воздействиям, а приращение выхода является суммой частных приращений, т.е.

,

где x₁, x₂, …,x_n – приращения входных воздействий; - частные производные.

П р и м е р. Линеаризовать уравнение характеристики элемента умножения y=x₁x₂ в точке y₀=x₀₁x₀₂.

Р е ш е н и е. В соответствии с малыми приращениями

y₀+y=(x₀₁+x₁) (x₀₂+x₂)= x₀₁x₀₂+x₀₁x₂+x₀₂x₁+x₁x₂=

=y₀+x₀₁x₂+x₀₂x₁+x₁x₂ y₀+x₀₁x₂+x₀₂x₁,

пренебрегая малыми высшего порядка.

Тогда, вычитая значение y₀ из левой и правой частей, получим

y= x₀₁x₂+x₀₂x₁=k₁ x₁+k₂ x₂, где k₁= x₀₂; k₂ =x₀₁,

т.е. элемент умножения может быть приближенно представлен в виде сумматора и двух усилителей (линейных звеньев).

При использовании метода осреднения точность линеаризации оценивается величиной относительной погрешности (рис.2.3)

, где у_л – уравнение линеаризованной характеристики. Величина  должна быть   0,1  0,2.

Рис.2.3. График относительной погрешности

Уравнения динамики сау

В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение одномерного элемента можно представить в виде (2.1):

(2.1)

где y(t), x(t), f(t) – выходная, входная и возмущающая величины элемента или системы (в отклонения от состояния равновесия);a_i, b_i, c_i - постоянные коэффициенты; n - порядок уравнения, при этом n  m - условие физической реализуемости элемента.

Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде при нулевых начальных условиях:

(2.2)

В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается D(p). Полиномы при воздействиях Х и F называются соответственно операто­ром управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим K(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:

Если рассматривается только установившийся режим, то уравнение (2.2) примет вид:

A_ny=b_mx + c_kf. (2.3)

Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику работы САР, а уравнение (2.3) описывает только статику.

Следует отметить, что используемый выше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа s, который является комплексной величиной. Как известно, для линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами при нулевых начальных условиях и точностью до обозначения оператор p соответствует оператору s, т.е. p  s.

Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.2), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа. Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и обратно применяются прямое и обратное интегральные преобразования вида:

, .

При этом x (t) называют оригиналом, а X(p) – изображением. Полагают, что функция x ( t ) обладает следующими свойствами:

- x ( t ) определена и кусочно - дифференцируема на всей поло­жительной числовой полуоси (0-);

- x (t) = 0 при t < 0;

-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:

Для удобства и формализации решений уравнение (2.1) может быть представлено в одной из пяти стандартных форм:

• в форме Коши;

• в пространстве состояний;

• в виде передаточных функций - W(p), Ф(p), Ф_ (p).

• решение относительно регулируемой величины - y(t);

• решение относительно ошибки - (t).

Форма Коши - матричная форма записи системы дифференциальных уравнений (ДУ), решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.

Пространство состояний - матричная форма записи системы ДУ САУ, адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений, связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САУ большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

Под состоянием системы понимается минимально-необходимый набор переменных величин системы x₁,x₂,...,x_n, способных однозначно и единственным образом определить положение системы в любой момент времени t. Совокупность переменных величин x₁,x₂,...,x_n образует n-мерное пространство состояний Rⁿ. Вектор с компонентами x₁,x₂,...,x_n называется вектором состояния. Рассмотрим систему (рис.2.4) с m входами (u₁,u₂,...,u_m), r выходами (y₁,y₂,...,y_r) и n переменными координатами (x₁,x₂,...,x_n).

Рис. 2.4. Обобщенная структурная схема САУ

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть представлена следующей векторно-матричной формой

, (2.4)

где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных управляемых величин, U - вектор входных воздействий (задающих и возмущающих); А, В, С, D - матрицы системы.

Уравнения (2.4) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t₀  t  T. Первое уравнение из (2.4) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши)

при i=1,2, ... ,n, (2.5)

где a_ij и b_ij - постоянные коэффициенты.

Второе уравнение из (2.4) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений

при i=1,2, ... ,r, (2.6)

где c_ij и d_ij - постоянные коэффициенты.

В стандартной форме описания (2.4)

- матрица системы;

- матрица управления;

- матрица наблюдения;

- матрица связи.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием. Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет систему управления.

П р и м е р. Написать уравнения состояния и построить электронную модель системы, имеющей матрицы состояния:

; С= .

Р е ш е н и е. В соответствии с матрицами А, В и С уравнения состояния запишем в виде:

Тогда электронная модель с использованием идеальных интеграторов и усилителей будет иметь вид

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением. На рис.2.5 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи.

Рис. 2.5. Структурная схема системы в векторной форме:

 - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных усилителей

Таким образом, уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют легко перейти к модели реальной системы и получить решение с применением вычислительной техники. Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом:

(2.7)

Выразим уравнение (2.7) относительно старшей степени р:

(2.8)

Входной сигнал у (t) можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной рⁿ y(t). Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от рⁿ y (t) до р y(t) (рис.2.6).

Рис. 2.6. Модель понижения порядка дифференциального уравнения

Согласно уравнению (2.8) очевидно, что старшая производная рⁿ y(t) равна переменной b_mf(t) минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты а₁, а₂ ... а_n. Тогда получим структурную модель, представленную на рис. 2.7.

Рис.2.7. Модель САУ

Введем обозначения x₁(t)=y(t), x₂(t)=py(t)…x_n(t)=p^n-1y(t) и уравнение n-го порядка (2.7) запишем в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.9)

Система уравнений (2.9) является одной из форм представления динамических процессов структурной модели, изображенной на рис. 2.7.

В матричной форме система уравнений (2.9) имеет вид:

В сокращенном виде матричная форма записывается следующим образом:

x^’(t)=Ax(t)+B(t),

где n-мерный вектор состояния; A – квадратная матрица размером n  n; B - - вектор-столбец управления.

Ввиду того, что имеется множество эквивалентных (с точ­ки зрения входо-выходных соотношений) способов предста­вления уравнений состояния системы, можно выбрать из них "наилучшие" - наиболее удобные для использования в рас­сматриваемой задаче. Такие формы записи уравнений на­зываются каноническими. Поскольку может быть много раз­личных приложений, известно и много канонических форм [25]. Наиболее распространенные из них: блочно-диагональная вещественная форма Жордана; управляемая форма Луенбергера (матрица Фробениуса). На рис.2.7 приведен пример представления системы матрицей Фробениуса, когда характеристическое уравнение располагается в последней строке.

Структурная математическая модель динамических процессов САУ обладает рядом преимуществ перед аналитическими описаниями или передаточными функциями. Во-первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию "состояние систем", как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во-вторых, однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые и определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании САУ на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

П р и м е р. Начертить блок-схему и написать уравнения состояния системы, описываемой дифференциальным уравнением

,

где g – входная величина; y – выходная величина.

Р е ш е н и е. Разрешим уравнение относительно старшей производной и составим блок- схему ее получения рис.2.8.

Рис.2.8. Блок-схема системы

В соответствии с выбранными переменными состояния на рис.2.8 запишем уравнения в нормальной форме

Или в матричной форме

где