Точность работы сау

Оценка точности работы САУ подразумевает нахождение величины установившейся ошибки в различных типовых (детерминированных) режимах. Принято типовые режимы исследовать следующих видов, т.е. при подаче на систему воздействий:

1. Ступенчатое воздействие 1(t)  1/p;

2. Движение с постоянной скоростью 1(t) t 1/p²;

3. Движение с постоянным ускорением 1(t) t²/2  1/p³;

4. Движение по гармоническому закону 1(t) sin(t)  /(p² + ²).

Рис.5.7. Типовые воздействия

На рис.5.8 представлена обобщенная структурная схема САУ с одним входом и одним возмущающим воздействием, позволяющая сформулировать правило определения порядка астатизма по тому или иному воздействию, где - передаточная функция регулятора; - передаточная функция объекта управления; G(p), F(p), U(p), Е(p), Y(p) – соответственно изображения по Лапласу задающего и возмущающего воздействий, рассогласования (ошибки регулирования) и управляемой величины.

Рис. 5.8. Структурная схема системы управления

Изображение ошибки регулирования имеет вид:

.

При f(t) = 0  - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.

При g(t) = 0  - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно возмущающего воздействия.

Изображение выходной переменной имеет вид:

.

При f(t) = 0  - передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию.

При g(t) = 0  - передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию.

Таким образом, четверка передаточных функций Ф_g(p), Ф_f(p), Ф_еg(p), Ф_еf(p) полностью определяет замкнутую систему управления. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

Передаточная функция разомкнутой системы W(p) имеет большое значение в классической теории управления, так как методы анализа и синтеза систем основаны на ее использовании.

Найдем передаточные функции замкнутой системы.

1. Передаточная функция замкнутой САУ по управляющему воздействию при f(t) = 0

.

2. Передаточная функция замкнутой САУ по ошибке от управляющего воздействия при f(t) = 0

.

3. Передаточная функция замкнутой САУ по возмущающему воздействию при g(t) = 0 и по ошибке от этого воздействия для САУ на рис.5.8 имеет вид

.

Таким образом, передаточные функции замкнутой системы определяются передаточной функцией разомкнутой системы.

Из вышеприведенного вытекает следующее:

1. =0 – характеристическое уравнение замкнутой САУ;

2. ;

3. ; 4. .

Для оценки точности системы определяется установившаяся ошибка, которая может быть получена с помощью теоремы операционного исчисления о конечном значении функции:

где е_g() – установившееся значение ошибки от задающего воздействия; е_f() - установившееся значение ошибки от возмущающего воздействия.

Изображение ошибки от задающего воздействия имеет вид

E_g(p)= Ф_eg(p)G(p),

где Ф_еg(p) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.

Для получения коэффициентов ошибок передаточная функция Ф_eg(p) раскладывается в степенной ряд

Ф_eg(p) = c₀ + c₁p + c₂p² + c₃p³ + ...

Коэффициенты c_i этого ряда называются коэффициентами ошибок и определяются из выражения

при i = 0, 1, 2, 3, ...

Коэффициенты c₀, c₁ и c₂ называются соответственно коэффициентами позиционной ошибки, скоростной ошибки и ошибки от ускорения.

Выражение для изображения ошибки от задающего воздействия примет вид

E_g(p) = (c₀+ c₁p+ c₂p²+ c₃p³+...)G(p).

Перейдя к оригиналу, выразим установившуюся ошибку через коэффициенты ошибок, задающее воздействие и его производные:

.

Аналогично можно ввести понятие коэффициентов ошибок по возмущающему воздействию.

Рассмотрим ошибки регулирования для различных систем и различных типовых управляющих воздействий. Аналогичные результаты можно получить и для различных возмущающих воздействий с учетом порядка астатизма, так как САУ с астатизмом по управляющему воздействию может быть статической по возмущению.

Итак, если взять статическую САУ, то у нее в области низких частот передаточная функция разомкнутой системы W(p)_p0  K. Подадим на вход замкнутой системы управляющее воздействие, представленное рядом Тейлора:

,

где g ₀ - постоянная составляющая;  - скоростная составляющая;  - составляющая ускорения. Тогда установившееся значение ошибки управления будет

где е_ст = g₀/(1+K) = const – статическая ошибка; е_ск =  - скоростная ошибка; е_уск =  - ошибка по ускорению.

Т.е. в статических системах ошибка, вызванная заданием, равным константе, так же константа, но меньшая в (1+К) раз, а ошибки от заданий, меняющихся с постоянной скоростью  или ускорением , нарастают до бесконечности.

Если САУ обладает астатизмом первого порядка, то передаточная функция разомкнутой системы в области низких частот W(p)_p0 K_/p. Тогда установившаяся ошибка управления будет

Т.е. в астатической системе первого порядка ошибка от задания, равного константе, равна нулю, ошибка от задания, меняющегося с постоянной скоростью, равна е_ск = /К_ , а ошибка от задания, меняющегося с постоянным ускорением, нарастает до бесконечности.

Если САУ обладает астатизмом второго порядка, то в области низких частот передаточная функция разомкнутой системы W(p)_p0 K_ /p².

Тогда установившаяся ошибка управления будет

Т.е. в астатической системе второго порядка ошибка от задания, равного константе, равна нулю, ошибка от задания, меняющегося с постоянной скоростью также равна нулю, а ошибка от задания, меняющегося с постоянным ускорением, равна е_уск = /К_.

Анализ показывает, что точность работы САУ с астатизмом зависит от величин, называемых добротностью по скорости К_ и ускорению К_. На рис.5.9 приведены л.а.х. двух систем с астатизмом первого и второго порядка, по которым можно определить значения добротностей.

Рис.5.9. ЛЧХ астатических САУ: а – астатическая 1-го порядка;

б – астатическая 2-го порядка.

Если на вход САУ подать гармоническое воздействие g(t)=g_mSin (_kt), то установившаяся ошибка также будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой:

е(t) = е_m sin (_кt+).

Точность системы в этом режиме оценивается по величине амплитуды ошибки, которую можно определить из амплитудно-частотной характеристики или модуля передаточной функции замкнутой системы. Следовательно

.

Для реальных систем в большинстве своем справедливо W(j)>>1. В связи с этим единицей в знаменателе, приведенной выше формулы, можно пренебречь. Тогда амплитуда ошибки

,

где A() - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы.

Чтобы сформулировать правило для определения порядка астатизма по тому или иному воздействию, рассмотрим пример САУ с одним управляющим и одним возмущающим воздействием. Для примера (рис.5.10) возьмем ПИ – регулятор и нейтральный объект.

Рис.5.10. Структурная схема САУ

Найдем установившиеся ошибки системы при различных внешних воздействиях.

Передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

от управляющего воздействия

от возмущающего воздействия

1. Возьмем g(t)=g₀1(t), f(t)=f₀1(t). Тогда G(р)= g₀ /p, F(p)= f₀ /p.

Установившаяся ошибка от управляющего воздействия:

Установившаяся ошибка от возмущающего воздействия:

2. Возьмем g(t) = g_m sin _кt, f(t)=0. Тогда амплитуда ошибки

3. Подадим сигналы управления и возмущения, линейно нарастающие с постоянной скоростью, изображения которых G(р) = ₁ /p², F(p) = ₂ /p².

Скоростная установившаяся ошибка от управляющего воздействия:

Скоростная установившаяся ошибка от возмущающего воздействия:

4. Подадим сигналы управления и возмущения, нарастающие с постоянным

ускорением, изображения которых G(р) = ₁ /p³, F(p) = ₂ /p³.

Ошибка по ускорению от управляющего воздействия:

Ошибка по ускорению от возмущающего воздействия:

На основании приведенного выше анализа астатизма по управляющему и возмущающему воздействиям можно заключить: порядок астатизма по тому или иному воздействию определяется количеством интегрирующих звеньев в цепи обратной связи между интересующим воздействием и ошибкой управления. Таким образом, астатизм САУ по управляющему воздействию равен 2 (два интегрирующих звена в цепи обратной связи - между ошибкой е(t) и управляющим воздействием g(t)), а по возмущающему воздействию астатизм равен 1 (одно интегрирующее звено в цепи обратной связи - между ошибкой е(t) и возмущающим воздействием f(t)). Поэтому по управлению _ст= _ск=0 (две первые ошибки), а по возмущению только _ст=0 (одна первая ошибка).

П р и м е р. Определить порядки астатизма по управляющему g(t) и возмущающему f(t) воздействиям САУ, структурная схема которой приведена на рис.5.11.

Рис.5.11. Структурная схема САУ

Р е ш е н и е. Сначала необходимо привести исходную структурную схему к одноконтурной, как показано на рис.5.12.

Рис.5.12. Приведенная структурная схема

Из рис. 5.12 видно, что при охвате идеального интегратора отрицательной обратной связью получается апериодическое звено 1-го порядка. Поэтому пользуясь правилом определения порядка астатизма, приведенным выше, можно заключить, и по управляющему, и по возмущающему воздействию астатизм равен 1.