Методы оценки качества переходных процессов

Частотные методы. Основное преимущество частотных методов — возможность использования как расчетных, так и экспериментальных характеристик разомкнутой системы для определения качества ее после замыкания цепи обратной связи. Оценки качества процессов регулирования, вызываемых изменением структуры или параметров системы, отличаются при этом большой простотой.

Остановимся более подробно на оценке качества переходных процессов САУ по вещественной частотной характеристике. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы Re = P() позволяет приближенно оценить качество переходной характеристики и в случае необходимости построить переходный процесс. Поэтому данную характеристику часто используют при инженерных расчетах. Примерный вид вещественной частотной характеристики замкнутой системы по заданному воздействию показан на рис.5. 3.

Рис.5.3. Вещественная частотная характеристика

Интервал частот, в котором Р() положительна, называется интервалом положительности _п,. Значение частоты _сч (существенная частота), после которой кривая Р() не выходит за пределы участка  0.1Р(0), определяет примерно границу пропускания частот исследуемой системы, если она статическая. На частоты, лежащие за пределами полосы пропускания _сч , система прак­тически не реагирует.

Качество переходной характеристики можно приближенно оценить по следующим признакам Р().

Признак 1. Установившееся значение переходной характеристи­ки (конечное значение) h_ = h() равно начальному значению вещественной частотной характеристи­ки Р(0).

Признак 2. Начальное значение переходной характеристики h₀ = h (0) равно конечному значению вещественной частотной характеристики Р().

Признак 3. При наличии у положительной вещественной частотной характеристики максимума Р_max перерегулирование  переходного процесса приближенно равно

Признак 4. Невозрастающая положительная вещественная частотная характеристика с отрицательной и убывающей по абсолютной величине производной соответствует монотонному переходному процессу.

Признак 5. Если увеличить (уменьшить) масштаб Р() вдоль оси абсцисс в n раз, то масштаб кривой переходного процесса вдоль оси времени уменьшится (увеличится) в то же число раз.

Признак 6. Если изменить масштаб Р() вдоль оси ординат в n раз, то и масштаб кривой переходного процесса вдоль той же оси времени изменится во столько же раз.

Признак 7. Если вещественная частотная характеристика положительна при частотах _п, то время регулирования в общем случае заведомо больше /_п.

Признак 8. При положительной невозрастающей вещественной частотной характеристике перерегулирование переходного процесса не может превышать 18 %.

Признак 9. Острый пик вещественной характеристики при угловой частоте _р свидетельствует о медленно затухающих колебаниях переходного процесса с частотой, близкой к частоте _р /2. Затухание этих колебаний тем меньше, чем острее и выше пик.

Признак 10. Если Р() можно представить суммой

то и переходный процесс h(t) может быть представлен суммой составляющих , где

Заметим, что лишь некоторые из приведенных признаков смогут быть строго доказаны, остальные же получены при рассмотрении решений большого числа типичных примеров или выведены для частных, но весьма распространенных видов вещественных характеристик. Поэтому использование этих признаков требует осторожности и проверки результатов исследования построением переходных процессов.

Рассмотрим связь показателей качества работы в замкнутой системе с ЛЧХ разомкнутой САУ. На рис.5.4 показаны типовые л.а.х. и л.ф.х. разомкнутой системы. Параметры переходного процесса (рис.5.1) и ЛЧХ связаны между собой следующими соотношениями:

= 1- sin _зап ;  (1/_1в) + (1/_2в); t_р= (1.52)/_ср; t_m3/_ср; t_п  (3/_ср)+(2/_1н).

Из формул видно, что быстродействие САУ прямо пропорционально частоте среза _ср, а колебательность обратно пропорциональна запасу устойчивости по фазе _зап. Следует отметить, что приведенные формулы являются приближенными (погрешность может составлять 2025 %), но на этапе предварительного анализа их использование может быть полезным.

Рис.5.4. Типовые ЛЧХ разомкнутой САУ

Корневые критерии качества. Отметим некоторые особенности применения корневых критериев качества переходных процессов. Эти критерии основаны на оценке качества переходных процессов по расположению и значению полюсов и нулей передаточной функции системы, т. е. по расположению и значению корней ее знаменателя и числителя на комплексной плоскости корней. Отметим, что если при исследовании устойчивости нас интере­совали только полюсы передаточной функции, т. е. корни характе­ристического уравнения, то при исследовании качества необходи­мо учитывать и нули передаточной функции. Лишь в частном слу­чае, когда передаточная функция системы не имеет нулей, качество переходных процессов определяется только коэффициен­тами характеристического уравнения.

Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида -±jгде  - коэффициент затухания;  - круговая частота колебаний. Наибольший из углов , образованных отрицательной действительной полуосью и лучами, проведенными из начала координат через мнимые части корней, характеризует колебательность системы. Котангенс этого угла m = ctg() называется коэффициентом затухания колебаний или степенью устойчивости (рис.5.5).

Рис.5.5. Расположение корней характеристического уравнения

Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия (иногда называют степенью устойчивости)  - это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень -±j, то  равна коэффициенту затухания .

Поскольку корни характеристического уравнения, расположен­ные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолют­ной величине вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно, то по сте­пени устойчивости можно приближенно определить время регули­рования:

t_п  3/ - если ближайший к мнимой оси корень - вещественный;

t_п  3/ - если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных сопря­женных корней.

Значение степени колебательности m позволяет найти прибли­женное значение перерегулирования переходной характеристики (в %):

если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопря­женных корней.

Если требуется, чтобы САУ имела определенные значения степени устойчивости  и коэффициент затухания m, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения этой системы располагались внутри заштрихованной области рис.5.5. Следует однако помнить, что для определения более точно качества переходного процесса при единичном скачке задающего воздействия существенны не только корни характеристического уравнения, т.е. полюса, но также и нули передаточной функции замкнутой системы.

Для устойчивой системы, не имеющей нулей, можно пользоваться некото­рой обобщенной оценкой, называемой среднегеометрическим корнем , который равен

где а_n и a₀ соответственно свободный член и коэффициент при старшей степени оператора р характеристического уравнения; _i – корни.

Для статических САУ а_n=1+К, а для астатических а_n=К, а₀=T₁ T₂ …T_n, следовательно увеличение К приводит к увеличению , поэтому на основании теоремы подобия увеличение  приводит к пропорциональному смещению корней. Таким образом, вид переходного процесса меняться не будет, но быстродействие изменится, т.е. параметр  является мерой, характеризующей быстроту протекания переходных процес­сов, так как время регулирования системы будет тем меньше, чем больше . Зная значения нулей и полюсов передаточной функции можно построить и исследовать корневой годограф (примером является диаграмма Вышнеградского). Однако трудоемкость построения корневых годографов сложных систем ограничивает применение корневых методов в инженерной практике.

Интегральные оценки качества. Широкое распространение среди косвенных методов исследова­ния качества процессов регулирования получили интегральные оценки. Это оценки качества переходной характеристики, а имен­но: быстроты затухания ее колебаний и величины отклонения ре­гулируемого параметра от установившегося значения. Рассмотрим наиболее употребительные интегральные оценки.

Линейная интегральная оценка численно равна площади, ограни­ченной ошибкой регулирования е (t) = h _уст - h (t). Определяется она выражением

.

Если известна передаточная функция САУ и на вход системы поступило единичное ступенчатое воздействие, то значение I₀ находится весьма просто

Линейную интегральную оценку применяют только для моно­тонных переходных процессов (рис. 5.2.(1)), так как при колебатель­ном переходном процессе (рис.5.2.(3)) ошибка в определении качества может быть недопустимой. Для улучшения свойств предыдущего критерия используют ин­теграл от модуля ошибки

.

Ограниченность применения данной оценки заключается в трудоемкости ее вычисления.

Недостатки двух первых интегральных оценок преодолеваются квадратичной интегральной оценкой (формула Рэлея)

.

На рис.5.6 представлена геометрическая интерпретация квадратичной интегральной оценки качества, численно равная площади , заключенной между осью времени и квадратом динамической ошибки регулирования е²(t).

Рис. 5.6. Определение квадратичной оценки качества

Этот интеграл находится также по виду передаточной функции замкнутой САУ. Целесообразность же ее применения обусловлена тем, что существуют готовые формулы для расчета численных значений I₂. В этом случае ошибка регулирования представляется в виде дробно-рациональной функции

где с(p) = c_n-1p^n-1 + c_n-2p^n-2 +…+ c₀; d(p) = d_npⁿ + d_n-1p^n-1 +…+ d₀.

В зависимости от порядка рассматриваемой системы n, по формулам, представленным ниже, рассчитывается квадратичная интегральная оценка.

где

Следует однако заметить, что минимизация оценки I₂ приближает кривую переходного процесса к 1(t), что, в свою очередь, вызывает значительное увеличение скорости отработки сигнала в начальный момент времени. Чтобы получить быстро затухающий и достаточно плавный процесс, вводят улучшенные квадратичные интегральные оценки качества, например

,

где  назначается в соответствии с заданием желаемых свойств переходного процесса. В этом случае предельной переходной характеристикой будет экспонента е+ = 0 с желаемой постоянной времени , получившая название экстремаль.

Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.