Формула тонкой линзы

Определение линзы

Определение тонкой линзы

Основные характеристики линзы

Формула тонкой собирающей линзы

Поперечное увеличение собирающей линзы

Формула тонкой рассеивающей линзы

Поперечное увеличение рассеивающей линзы

Обобщенная формула тонкой линзы

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями.

Линза называется тонкой, если ее толщина мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей, в противном случае – толстой.

Тонкая линза – линза, толщина которой пренебрежительно мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей. (l <<R₁, R₂)

Линза, которая у краев толще, чем в середине, называется вогнутой, которая в середине толще – выпуклой.

Прямая, проходящая через центры обеих сферических поверхностей линзы, называется главной оптической осью линзы.

Если толщина линзы мала, то можно сказать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, называемой оптическим центром линзы.

Прямая, проходящая через оптический центр, называется побочной оптической осью.

Если на линзу направить пучок света, параллельный главной оптической оси, то у выпуклой линзы пучок соберется в точке F, называемой главным фокусом.

Если такой же пучок направить на вогнутую линзу, то пучок рассеивается так, что лучи как будто бы исходят из точки F, называемой мнимым фокусом.

Если направить пучок света параллельной побочной оптической оси, то он соберется на побочном фокусе, лежащем в фокальной плоскости, проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси.

Собирающая тонкая линза

Найдем взаимосвязь между d, F, f , называемую формулой тонкой линзы.

Пусть предмет расположен за фокусом собирающей линзы d < F.

Из подобия треугольников:

ΔAOB ~ ΔA’O’B’  │Г│= =

ΔCFO ~ ΔA’FB’  │Г│= =

=

Разделив обе части на f, получаем формулу тонкой собирающей линзы :

= + .

Аналогично можно вывести формулу для случая F < d < 2F

Пусть предмет расположен между линзой и фокусом d < F.

Из подобия треугольников:

ΔAOB ~ ΔA’O’B’  =

ΔCFO ~ ΔFB’A’  =

=

Разделив обе части на f, получаем формулу тонкой собирающей линзы :

= - .

Для расчетов удобно использовать лишь одну формулу тонкой линзы для любых расстояний от предмета до линзы:

= + .

Если изображение оказывается мнимым (d < F) считают, что f отрицательно (f < 0).

В формуле линзы расстояние от линзы до мнимого изображения считается отрицательным.

Действительное изображение находится с другой стороны от линзы (см.рис.), чем предмет (f > 0), а мнимое – с той же стороны (f < 0).

Рассеивающая тонкая линза

Пусть предмет расположен между рассеивающей линзой и фокусом d < F.

Из подобия треугольников:

ΔAOB ~ ΔA’OB’  = (мы учли, что f < 0)

ΔCFO ~ ΔA’FB’  = (для рассеивающей линзы F < 0)

=

Разделив обе части на │f│, получаем формулу тонкой рассеивающей линзы :

- = - .

Для собирающей и для рассеивающей линз используют формулу:

= + .

При этом действительное фокусное расстояние считается положительным F =│F│, мнимое – отрицательным F = -│F│.

Расстояние от линзы до действительного изображения – положительное f =│f│, до мнимого - отрицательное f = -│f│

Для предмета, расположенного на произвольном расстоянии d от линзы:

=  │f│= = = │F│ -

Графиком полученной зависимости является отрицательная гипербола, смещенная на │F│ вверх по оси ординат и влево по оси абсцисс.

При d = 0, │f│= 0; при d >> │F│,│f│=│F│.

Чем дальше от линзы предмет, тем ближе к фокусу находится его изображение.

Поперечное увеличение рассеивающей линзы при различных расстояниях d предмета от линзы (учитывая формулу для │f│)

Г(d) = = .

Г(d) - гипербола, смещенная на │F│ влево по оси абсцисс.

При d = 0 Г = 1, при d = │F│ Г = 0.5

Анализ графиков │f│(d) и Г(d) показывает, что:

Изображение предмета в рассеивающей линзе всегда является мнимым, прямым (Г > 0), уменьшенным (│Г│< 1) и располагается между линзой и главным фокусом с той же стороны от линзы, что и предмет.

Характеристики изображений в собирающих линзах

Размеры и расположение изображения предмета в собирающей линзе зависят от положения предмета относительно линзы.

Определим с помощью формулы линзы, на каком расстоянии f от линзы с фокусным расстоянием F находится изображение предмета, расположенного на произвольном расстоянии от линзы:

f = = = = F +

Графиком f(d) является гипербола, сдвинутая на F вверх по оси ординат и вправо по оси абсцисс.

При d = 0, f =0 ; при d = 2F, f = 2F. Область d < 0 не имеет физического смысла, так как d всегда положительно.

Поперечное увеличение линзы при различных расстояниях d (учитывая, что f = ):

Г = - = -

Отрицательная гипербола, смещенная по оси абсцисс вправо на F.

Характеристики изображений в собирающих линзах

в зависимости от расстояния d от предмета до линзы

Предмет	Изображение
Расстояние от линзы d	Расстояние от линзы f	Тип	Ориентация	Относительный размер
d > 2F	F < f < 2F	Действительное	Перевернутое Г < 0	Уменьшенный │Г│ < 1
d = 2F	f = 2F	Действительное	Перевернутое Г < 0	Того же размера │Г│ = 1
F < d < 2F	f >2F	Действительное	Перевернутое Г < 0	Увеличенное │Г│ > 1
d = F	f = ± ∞
d < F	f < 0 ; │f│< d	Мнимое	Прямое Г < 0	Увеличенное │Г│ > 1