Тема 4. Функции нескольких переменных

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 11, 12.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 10.

Методические указания

В реальной практике очень часто приходится иметь дело с функциями, значение которых зависит от нескольких независимых переменных. Например, площадь треугольника зависит от двух переменных: длины основания а и длины высоты , проведенной к этому основанию. То есть . Объем параллелепипеда определяется уже значениями трех независимых переменных: его длины – а, ширины – b, и высоты h, т. е. .

Нахождение производной от функции нескольких переменных проводится по тем же формулам, что и от функций одной переменной, при одном условии: производная берется по какой-либо одной независимой переменной, остальные независимые переменные считаются константами. В силу этого такие производные называются частными производными функции нескольких переменных, с указанием той переменной, по которой производится дифференцирование.

Распространены две формы записи частной производной функции нескольких переменных. Пусть дана функция . Тогда частная производная этой функции по х может быть записана как , или как , частная производная по z - или . Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Задача 10. Найти частные производные функции

z = 6x⁴ – 3x³y + 3xy² – 6y⁵ + 0,2 по х и у.

Решение. При нахождении частной производной по х, переменная у считается постоянной

=

=

= .

При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной

=

=

= .

Задача 11. Найти частные производные функции

.

Решение. При нахождении частной производной по х переменная у считается постоянной

=

=

=

=

.

При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной.

=

=

=

= .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение функции двух независимых переменных.

2. Дайте определение частных производных функции двух независимых переменных.

3. Запишите формулу для вычисления полного дифференциала функции двух независимых переменных.

4. Как находятся частные производные второго порядка функции двух независимых переменных?

Тема 5. Неопределенный интеграл

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 7.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 6.

Методические указания

Часто бывает необходимо найти функцию по ее известной производной. Если на интервале (а, b) для двух функций и справедливо соотношение , то называется первообразной для функции . При этом, если – первообразная для , то при любой постоянной С функция , также является первообразной для . Например, для функции , ее первообразная может иметь вид , или , или , и т. п.

Неопределенным интегралом от функции называется общее выражение всех производных этой функции . Неопределенный интеграл обозначается символом и по определению

.

Разумеется, . Выражение называется подынтегральным выражением, а функция – подынтегральной функцией. Неопределенные интегралы от элементарных функций приведены в табл. 2.

Таблица 2

Таблица неопределенных интегралов

1	х + С