Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное
бюджетное государственное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Ярославская государственная сельскохозяйственная академия»
Кафедра математики и информационных технологий
К.А.Зиновьев, Е.С. Рогозина, А.З. Скопец, Л.П. Щипина
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математический анализ»
для студентов экономического факультета заочной формы обучения
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Ярославль
2011
Порядок выполнения контрольных работ.
К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала в учебной литературе, список которой дан в каждой главе, и примеров решений задач, приведенных в данном пособии. Можно также использовать ресурсы сети Internet.
При этом необходимо руководствоваться следующими указаниями:
1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы и дата её отправки в академию. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью, чертежи должны быть выполнены аккуратно и четко, с указанием координатных осей, единиц масштаба и других элементов.
2. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки студента 02076, то он решает все задачи шестого варианта: 6, 16, 26, и т д. Номера задач указаны в табл. 1.
3. Незачтённая работа возвращается студенту, который должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить ее на повторное рецензирование вместе с первоначальным текстом.
Таблица 1
Последняя цифра номера зачетной книжки |
Н о м е р а з а д а ч |
|||||
1 |
1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
51 |
2 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
3 |
3 |
13 |
23 |
33 |
43 |
53 |
4 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
54 |
5 |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
6 |
6 |
16 |
26 |
36 |
46 |
56 |
7 |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
57 |
8 |
8 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
9 |
9 |
19 |
29 |
39 |
49 |
59 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
Методические указания по выполнению контрольной работы
Тема 1. Введение в математический анализ
Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 1, 2, 4.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 2, 3.
Математический анализ – это раздел математики, посвященный изучению свойств и закономерностей функциональных зависимостей.
Функциональной зависимостью называется такая взаимосвязь одной или нескольких независимых переменных величин с некоторой, зависимой от них, переменной величиной, при которой каждому значению независимых переменных соответствует строго определенное значение этой зависимой переменной.
Математическое выражение, устанавливающее вид взаимосвязи зависимой переменной с независимой, называется функцией и обозначается строчной латинской буквой f. Независимая переменная называется аргументом функции, и, как правило, обозначается строчной латинской буквой х, а зависимая переменная – у.
Например,
.
Здесь функцией является выражение
.
Если
,
то функция имеет вид
.
Для функциональных
зависимостей существует понятие
области допустимых значений аргумента,
то есть совокупности таких значений
аргумента, при которых функция будет
определена. Очевидно, если
,
то х
не может быть отрицательным, при
,
х
не может быть равным единице и т.п.
Если значение
аргумента х
стремится к своему предельному допустимому
значению, то и f(x)
также стремится к некоторому предельному
значению, называемому пределом
функции.
Например, при х
→ 0, предел
функции
равен нулю, а предел функции
при х →
1 равен
.
В математике предел функции обозначается символом lim сокращенное написание французского слова limit, которое и переводится как предел.
Предел функции не
всегда может быть найден простой
подстановкой предельного значения
аргумента. Например, при нахождении
предела функции
при х →
4, (
),
при подстановке предельного значения
аргумента (х
= 4), очевидно, возникает неопределенность,
так как
В этом случае для устранения неопределенности
необходимо произвести некоторые
преобразования. Например, можно данное
выражение записать в следующем виде
.
После сокращения
числителя и знаменателя на множитель
,
получим выражение
.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся приемы раскрытия неопределенностей на примере типовых заданий.
Задача 1.
Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 3, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности сократим
дробь
,
предварительно разложив на множители
числитель и знаменатель дроби
=
=
=
.
Задача 2.
Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х = 3, получаем
неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности умножим
числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
сопряженное числителю. Такое преобразование
даст возможность сократить дробь на
множитель х–3,
отличный от нуля при
х 3
=
=
=
=
=
=
.
Задача 3.
Найти предел функции
.
Решение.
Так как при х
не существуют пределы числителя и
знаменателя дроби
,
то получим неопределенность вида
.
Для раскрытия неопределенности разделим
почленно числитель и знаменатель на
переменную в старшей степени переменной,
то есть на х2,
а затем применим теоремы о пределах
=
=
=
=
=
.
Задача 4.
Найти предел функции
.
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения х = 3, получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности используем первый замечательный предел
,
или, в другой форме,
.
=
=
=
=
=
.
Задача 5. Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 0, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности умножим
числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
сопряженное знаменателю, и произведем
необходимые преобразования
=
=
=
=
=
= –3.
При нахождении
данного предела использовался первый
замечательный предел. Так как
,
то
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение функции одной независимой переменной.
2. Что называется областью определения функции? Областью значений функции?
3. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
4. Дайте определение максимума и минимума функции, точки максимума и точки минимума функции.
6. Какая функция называется четной? Нечетной?
7. Какая функция называется периодической?
8. Какая функция называется сложной?
9. Дайте определения, сформулируйте основные свойства, начертите графики основных элементарных функций.
10. Что называется числовой последовательностью?
11. Что называется пределом числовой последовательности?
12. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
13. Какая переменная величина называется бесконечно большой? Бесконечно малой? Какая связь между ними?
14. Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.
15. Что представляет собой первый замечательный предел?
16. Что представляет собой второй замечательный предел?
17. Дайте определение непрерывности функции в точке, в интервале.
18. Какая точка называется точкой разрыва функции?