3.1 Получение аналитического выражения, описывающее переходный процесс.
Прежде
чем приступить к нахождению аналитического
выражения, описывающего переходный
процесс, вспомним последовательность
его выполнения
.
Последовательность расчета переходного процесса:
1. Исходная схема представляется в операторной форме, т. е. элементы исходной схемы заменяются на элементы, представленные в операторной форме;
2. Любым известным методом (методом эквивалентного преобразования, методом контурных токов, с помощью законов Кирхгофа, методом эквивалентного генератора и т. д.) находится операторное представление выходного напряжения;
3. По операторному представлению выходного напряжения (изображению выходного напряжения) находится оригинал выходного напряжения.
-31-
Схема с согласованной нагрузкой представлена на рис.18.
В соответствии с рассмотренной последовательностью расчёта представим исходную схему с согласованной нагрузкой в операторной форме рис.19.
Нагр. - заменить, токи и напр. Убрать, предст в операт фор.
Теперь нужно определить напряжение на нагрузке в операторной форме любым известным методом. Очевидно, это напряжение можно определить после того, как будет найден ток нагрузки. Следует подчеркнуть, что для решения поставленной задачи, определения напряжения на нагрузке, необходимо определить ток только в одной цепи. Из всех известных методов расчёта один из них предназначен именно для такого случая. Это метод эквивалентного генератора. Воспользуемся этим методом. Предварительно ещё раз вспомним последовательность его применения.
Последовательность расчета методом эквивалентного генератора:
1. Отсоединить от схемы интересующую ветвь, клеммы подсоединения которой обозначить через .
2.
Рассчитать оставшуюся часть цепи и
определить напряжение на клеммах
(
).
3. В оставшейся части цепи заменить источники ЭДС перемычкой или резистором, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС.
-32-
4.
Определить сопротивление этой цепи
относительно клемм
,
которое обозначим
.
5.
Оставшуюся часть цепи заменить
последовательно соединёнными источником
ЭДС с напряжением
и резистором с сопротивлением
.
Эту цепь подсоединить к клеммам
.
6. К клеммам подсоединить интересующую ветвь и определить ток, протекающий через нее.
Далее, в соответствии последовательностью расчёта, отсоединяем от клемм цепь нагрузки (рис.20).
Убрать нагрузку, ток и напряжение в цепи нагрузки.
В
схеме без нагрузки (рис.20) необходимо
определить напряжение между выводами
.
Так как выводы
разомкнуты,
то через конденсатор
не протекает ток, а значит, на нём не
падает напряжение. Тогда делаем вывод,
что напряжение на выводах
равно
напряжению, прикладываемому к параллельно
соединённым резистору
и катушки индуктивности
.
Падение напряжения на этих элементах,
а значит на выводах
можно определить методом эквивалентного преобразования и оно будет определяться по формуле будет определяться по формуле:
. (31)
Далее, в соответствии с пунктами 3 и 4 последовательности расчёта, замыкаем выводы (рис.21) и определяем сопротивление между выводами , которое обозначим как .
-33-
Сопротивление
определяется
по формуле:
.
(32)
В соответствии с требованиями пунктов 5 и 6 последовательности расчёта составляем схему с эквивалентным генератором, которая представлена на рис.22.
Рис.22 Схема эквивалентного генератора с нагрузкой
В соответствии с этой схемой ток в цепи нагрузки определяется по формуле:
.
(33)
Напряжение на нагрузке определяем по закону Ома:
. (34)
С учётом (34) изображение напряжение на нагрузке, после некоторых преобразований, принимает вид:
-34-
Теперь в эту формулу необходимо подставить изображение элементов, находящихся в этой формуле. Изображение этих элементов имеет вид :
Подставляем эти значения в полученную формулу:
Раскрываем скобки, делаем необходимые преобразования, подставляем численные значения и после необходимых преобразований формула принимает вид:
Для того, чтобы в дальнейшем характеристическое уравнение представляло собой приведённое квадратное уравнение, разделим числитель и знаменатель на коэффициент при р2 в знаменателе:
Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни:
;
Решая это уравнение, находим его корни:
;
;
С учётом найденных корней формула для напряжения на нагрузке в операторной форме примет вид:
;
Далее необходимо с помощью этой формулы определить оригинал напряжения на нагрузке одним из известных способов – привести к табличному виду или воспользоваться вычетами. Полученное выражение можно привести к табличному виду путём деления каждого из слагаемых числителя на знаменатель:
;
Обращаемся к таблицам изображений и оригиналов по Лапласу и находим оригинал напряжения на нагрузке:
(35)
Прежде чем начать построение переходного процесса по (35) полезно проверить его правильность. Это можно сделать путём определения значений напряжения в момент коммутации и в установившемся режиме с помощью исходной схемы и сравнить со значениями, получаемыми по формуле (35).
Определим напряжение на нагрузке в момент коммутации с помощью исходной схемы. В соответствии с законами коммутации в начальный момент времени (t=0) катушка индуктивности имеет сопротивление равно бесконечности, т.е. представляет собой разрыв, а конденсатор имеет нулевое сопротивление, т.е. представляет собой короткое замыкание. Исходя из этого, эквивалентная схема для исходной цепи в момент коммутации принимает вид, показанный на рис.23.
Определяем напряжение на нагрузке и находим, что оно равно:
В.
В получении этого результата ошибиться трудно, и поэтому его принимаем за контрольное значение. Теперь найдём значение этого же напряжения по формуле (35), подставляя в неё нулевое значение времени (t=0). В результате вычислений находим:
В.
Видим, что результаты вычислений достаточно близки. Таким же образом можно сравнить значения напряжения на нагрузке и в установившемся режиме. Из теории переходных процессов известно, что в установившемся режиме сопротивление катушки индуктивности равно нулю, т.е. она представляет
собой короткое замыкание, а сопротивление конденсатора равно бесконечности, т.е. он представляет собой разрыв. Из исходной схемы рис.18 видно, что благодаря конденсаторам, цепь нагрузки будет разомкнута и на нагрузке напряжение будет отсутствовать, т.е. будет равно нулю. Обращаясь к формуле (35) и подставляя в неё значение времени равное бесконечности, видим, что она даёт так же значение напряжения равное нулю. Выполненные проверки говорят о том, что полученной формуле (35) можно доверять и с помощью её строить переходный процесс.
Итак, задаём численные значения времени, определяем для них значения напряжения, результаты заносим в таблицу, с помощью которой строится график переходного процесса.
На рис.24 представлен ориентировочный вид переходного процесса и определение времени переходного процесса.
Рис.24 График переходного процесса