1.2.2 Расчёт электрической цепи с помощью законов Кирхгофа.

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии с .

При расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. Токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов Кирхгофа. Так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. Число ветвей принято обозначать через n. Часть этих уравнений записываются по первому закону Кирхгофа, а часть - по второму закону Кирхгофа. Все полученные уравнения должны быть независимыми. Это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. При составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров.

Независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. Если число узлов обозначим через К, то число независимых узлов равно (К-1).

-14-

Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. В противном случае такой контур называется зависимым.

Если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно

[n-(К-1)].

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Определяем число независимых узлов и контуров и выбираем их на схеме.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К–1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К–1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

Для расчёта берём цепь с найденной согласованной нагрузкой и представляем её в комплексной форме (рис. 12).

Нагрузку заменить

На схеме имеют место две ветви, содержащие и , которые включены параллельно и, как бывает у параллельно соединённых ветвей, у них должны быть общие узлы с обеих сторон соединения. Однако на схеме каждая ветвь имеет свой узел, между которыми находится перемычка. Такие узлы принято называть распределёнными и на схеме они воспринимаются как один узел. В схеме в этих случаях токи в перемычках не представляют интереса и их не определяют. Исходя из сказанного, в схеме имеется четыре ветви, а значит в схеме четыре неизвестных тока.

С учётом сказанного, в схеме только два узла, а в качестве независимого узла выберем верхний распределённый узел и для него, в дальнейшем будет записано уравнение по первому закону Кирхгофа.

В схеме три независимых контура. Выбираем контура, содержащие такие элементы:

; ; .

-15-

Для каждого контура составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Все составленные уравнения образуют следующую систему уравнений (5):

(5)

Расчёт системы можно проводить методом Крамара или методом последовательного исключения. Воспользуемся методом последовательного исключения. Подставим первое уравнение системы во второе уравнение. После эквивалентного преобразования система принимает вид (6):

(6)

Из третьего уравнения системы (6) находим ток :

. (7)

Подставляем найденный ток (7) в первое уравнение системы (6) и после эквивалентного преобразования система принимает вид (8):

. (8)

Из второго уравнения системы (8) находим ток :

. (9)

Подставляем найденный ток (9) в первое уравнение системы (8) и после эквивалентных преобразований, получаем:

.

Решаем полеченное уравнение относительно тока :

.

В полученное выражение подставляем численные значения:

-16-

.

Осуществляя необходимые преобразования, получаем решение для в показательной и алгебраической форме:

А. (10)

Ток находим по формуле (9), подставляя в неё численные значения:

.

После необходимых преобразований находим значение тока в показательной и алгебраической форме:

А. (11)

Ток находим по формуле (7), подставляя в неё численные значения:

.

После необходимых преобразований находим значение тока в показательной и алгебраической форме:

А. (12)

Ток находим в соответствии с первым законом Кирхгофа по формуле:

Подставляем в это выражение значения токов в алгебраической форме (10), (11), (12) и, суммируя вещественные и мнимые составляющие, находим в начале ток в алгебраической форме, а потом и в показательной:

А.

Находим напряжения на элементах:

В.

В.

В.

В.

В.

-17-

Сравнивая полученные здесь результаты расчётов с результатами предыдущего расчёта видим, что имеет место достаточно хорошее их совпадение.

Определение погрешности расчёта.

Определим мощность, выделяемую источником:

Вт.

Определим мощность, потребляемую диссипативными элементами схемы по известной формуле:

.

Подставляя численные значения найденных токов, находим:

Вт.

Погрешность определяем по известной формуле:

.

Подставляем найденные значения мощностей:

.

Как видим, полученная погрешность удовлетворяет требованию задания.