2. Синтез корректирующего звена в виде местной обратной связи.

Передаточную функцию корректирующего звена в канале местной обратной связи можно получить на основе следующей методики.

Рассмотрим следующую САУ

Должны быть известны все передаточные функции и желаемая передаточная функция разомкнутой скорректированной системы , которая будет связана с остальными звеньями передаточной функцией

.

Рассматривая последнюю передаточную функцию как уравнение относительно неизвестного звена , находим

.

Рассмотрим ещё один метод синтеза корректирующего звена в канале местной обратной связи. Метод является приближённым. Приближение будет тем лучше, чем больший коэффициент передачи у звена, охватываемого корректирующей обратной связью. Обратная связь охватывает звенья с наибольшим коэффициентом передачи.

Введём следующие обозначения:

- передаточная функция звеньев, охватываемых корректирующей обратной связью;

- передаточная функция звеньев, неохваченных обратной связью.

Тогда

.

Преобразуем это выражение следующим образом

.

Поскольку обратная связь охватывает звенья с наибольшим коэффициентом передачи, то в наиболее существенном частотном диапазоне будет справедливо

.

Поэтому для передаточной функции скорректированной разомкнутой системы можно записать

,

или для передаточной функции корректирующей обратной связи

.

Если перейти к ЛАХ, то получаем .

Замечание. Прежде, чем остановиться на передаточной функции необходимо проверить внутренний замкнутый контур на устойчивость. Если он неустойчив, то нужно продолжить поиск .

Построение кривой переходного процесса методом трапецеидальных частотных характеристик.

(Теоретическое приложение к п.9)

Переходный процесс при единичном ступенчатом внешнем воздействии для нулевых начальных условий можно получить, вычислив интеграл

.

Вычислить его непросто, поэтому обычно используют приближённый способ, основанный на аппроксимации вещественной частотной характеристики несколькими линейными участками. Затем ВЧХ представляют в виде суммы типовых трапеций. Для каждой из трапеций по таблицам строят кривые. Далее кривые суммируются.

В общем случае трапеция выглядит следующим образом

Здесь - высота трапеции; - интервал равномерного пропускания; - интервал положительности. Для каждой трапеции вводится в рассмотрение величина æ, определяемая следующим образом æ , и называемая коэффициентом наклона.

В интервале частот от 0 до значение . На участке от до изменяется по линейному закону

.

На следующем участке .

Для трапеций составлены типовые универсальные таблицы h – функций для различных значений æ. Таблицы составлены для единичных трапеций, то есть таких, у которых . Таблицы h – функций – это таблицы переходных функций, полученные в относительных единицах.

Таблица функций .

æ	0,00	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5	0,000 0,158 0,310 0,449 0,572 0,764 0,755 0,814 0,857 0,883 0,896 0,900 0,904 0,904 0,904 0,907 0,910 0,918 0,924 0,932 0,939 0,946 0,947 0,949 0,950 0,950 0,950 0,950	0,000 0,165 0,326 0,469 0,597 0,705 0,790 0,853 0,896 0,923 0,936 0,940 0,943 0,942 0,944 9,945 0,951 0,956 0,965 0,972 0,978 0,985 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989 0,990	0,000 0,176 0,340 0,494 0,628 0,739 0,828 0,892 0,938 0,960 0,978 0,986 0,982 0,980 0,979 0,980 0,985 0,989 0,997 1,004 1,009 1,013 1,015 1,016 1,015 1,013 1,012 1,011	0,000 0,184 0,356 0,516 0,655 0,771 0,863 0,928 0,974 0,997 1,012 1,019 1,013 1,009 1,006 1,006 1,008 1,010 1,016 1,022 1,025 1,028 1,029 1,027 1,025 1,022 1,019 1,017	0,000 0,192 0,371 0,538 0,683 0,802 0,896 0,963 1,008 1,029 1,042 1,046 1,037 1,030 1,024 1,019 1,020 1,021 1,025 1,029 1,031 1,033 1,031 1,028 1,024 1,019 1,015 1,011	0,000 0,199 0,386 0,560 0,709 0,833 0,928 0,994 1,039 1,057 1,067 1,067 1,054 1,043 1,035 1,025 1,024 1,022 1,025 1,027 1,027 1,028 1,025 1,021 1,015 1,010 1,005 1,000	0,000 0,207 0,401 0,580 0,733 0,861 0,958 1,024 1,060 1,080 1,087 1,083 1,065 1,050 1,037 1,025 1,021 1,018 1,018 1,019 1,019 1,017 1,014 1,010 1,004 0,999 0,994 0,990	0,000 0,215 0,417 0,603 0,761 0,891 0,987 1,050 1,090 1,100 1,103 1,093 1,070 1,049 1,033 1,017 1,012 1,007 1,006 1,006 1,006 1,005 1,002 0,999 0,994 0,990 0,986 0,983	0,000 0,223 0,432 0,617 0,786 0,916 1,013 1,074 1,107 1,115 1,112 1,095 1,068 1,043 1,023 1,005 0,995 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,991 0,988 0,986 0,985 0,984	0,000 0,231 0,447 0,646 0,810 0,943 1,038 1,095 1,124 1,129 1,117 1,097 1,062 1,033 1,009 0,989 0,981 0,977 0,978 0,982 0,987 0,991 0,991 0,989 0,987 0,986 0,987 0,988	0,000 0,240 0,461 0,665 0,833 0,967 1,061 1,115 1,142 1,138 1,118 1,092 1,051 1,018 0,993 0,974 0,966 0,966 0,970 0,975 0,982 0,987 0,993 0,997 0,997 0,997 0,997 0,998

Таблица функций (продолжение).

æ	0,55	0,60	0,65	0,70	0,75	0,80	0,85	0,90	0,95	1,00
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5	0,000 0,248 0,476 0,685 0,856 0,985 1,082 1,132 1,152 1,134 1,115 1,083 1,037 1,001 0,975 0,958 0,951 0,949 0,960 0,972 0,985 0,996 1,002 1,006 1,006 1,006 1,006 1,006	0,000 0,255 0,490 0,706 0,878 1,010 1,100 1,145 1,158 1,134 1,107 1,070 1,021 0,982 0,957 0,944 0,941 0,944 0,961 0,980 0,993 1,007 1,014 1,017 1,019 1,018 1,014 1,010	0,000 0,259 0,505 0,722 0,899 1,031 1,117 1,158 1,159 1,138 1,098 1,050 1,003 0,965 0,941 0,926 0,935 0,948 0,966 0,987 1,006 1,017 1,027 1,029 1,026 1,019 1,012 1,005	0,000 0,267 0,519 0,740 0,919 1,042 1,130 1,161 1,160 1,132 1,084 1,032 0,984 0,948 0,927 0,922 0,932 0,951 0,976 1,000 1,020 1,033 1,039 1,037 1,027 1,017 1,005 0,995	0,000 0,275 0,534 0,758 0,938 1,060 1,142 1,166 1,161 1,127 1,069 1,016 0,966 0,936 0,917 0,911 0,936 0,958 0,990 1,015 1,036 1,046 1,047 1,043 1,025 1,010 0,003 0,982	0,000 0,282 0,547 0,776 0,956 1,078 1,154 1,171 1,156 1,111 1,053 0,994 0,949 0,920 0,911 0,920 0,944 0,974 1,006 1,033 1,049 1,054 1,048 1,034 1,015 0,995 0,980 0,968	0,000 0,290 0,562 0,794 0,974 1,098 1,164 1,174 1,149 1,099 1,037 0,979 0,934 0,910 0,908 0,927 0,955 0,990 1,023 1,048 1,059 1,058 1,044 1,024 1,000 0,979 0,964 0,958	0,000 0,297 0,575 0,813 0,986 1,113 1,172 1,175 1,141 1,085 1,019 0,962 0,922 0,903 0,909 0,934 0,970 1,006 1,039 1,059 1,063 1,055 1,034 1,010 0,984 0,965 0,955 0,954	0,000 0,304 0,593 0,832 1,003 1,125 1,176 1,175 1,131 1,071 1,001 0,951 0,914 0,903 0,915 0,946 0,986 1,023 1,053 1,066 1,062 1,048 1,021 0,994 0,969 0,954 0,950 0,958	0,000 0,314 0,603 0,844 1,020 1,133 1,178 1,175 1,118 1,053 0,986 0,932 0,906 0,905 0,925 0,958 1,004 1,041 1,061 1,066 1,056 1,033 1,005 0,977 0,958 0,949 0,955 0,970

Для перехода к реальным величинам табличную h – функцию преобразуют.

1) Табличную h – функцию, взятую для соответствующего коэффициента наклона æ, умножают на .

2) Относительное время делят на длину интервала положительности .

После выполнения этих действий можно построить график переходного процесса (переходной функции), соответствующий исходной трапеции. Всё сказанное проделывается для каждой трапеции. Получившиеся для каждой трапеции переходные функции графически суммируются, образуя общую переходную функцию.

ВЧХ спроектированной системы получается из её передаточной функции после замены на . Действительная часть получившегося комплексного числа и есть ВЧХ.

В системах автоматического управления с синтезом управления частотным методом В. В. Солодовникова ВЧХ в основном имеют следующий вид

Довольно часто вид ВЧХ отдельных систем отклоняется от приведённого, но не слишком значительно.

Разобьём ВЧХ на трапеции. Для этого аппроксимируем её отрезками прямых линий

Получившуюся фигуру представим в виде рассматривавшихся ранее трапеций

Получились три трапеции: одна большая трапеция - 1 и две небольших - 2 и 3. Вторая трапеция имеет перекрёстную штриховку и расположена сверху, третья располагается снизу от оси времени. Вторая и третья трапеции, кроме того, отрицательные (их нижние основания меньше верхних). Для каждой из трапеций по графику находят её высоту , интервалы равномерного пропускания и положительности . По значениям интервалов находят коэффициенты наклона æ_i .

По полученным значениям æ_i в таблицах h – функций выбирают нормированные переходные функции h_i. В каждом столбце таблицы располагается нормированная переходная функция, отвечающая своему коэффициенту наклона. Коэффициенты наклона указаны в верхней строке. В крайнем левом столбце указывается относительное время.

Для перехода от нормированной h_i – функции к абсолютной требуется умножить её на высоту трапеции. Относительное время заменяется на реальное, делением его на ширину интервала положительности: . Результаты вычислений могут быть сведены в следующую таблицу

æ_i = … .

Вычисления проводятся и таблицы строятся для каждой из получившихся трапеций. По полученным результатам для каждой трапеции строятся их графики, которые затем графически суммируются, образуя искомую переходную функцию проектируемой системы автоматического управления.

31