3. Критерий устойчивости Гурвица.
Выше было выяснено, что за устойчивость отвечают корни характеристических уравнений. Для их нахождения необходимо решать алгебраическое уравнение некоторой степени. Хорошо решаются уравнения первой и второй степени, сложнее третьей и четвёртой. Для всех этих уравнений существуют формулы поиска корней. Если же уравнение пятой степени или большей, то аналитических выражений для нахождения корней не существует. Характеристические уравнения обычных САУ имеют часто степень и большую. Как же тогда разбираться со всеми вопросами, касающимися устойчивости?
Оказывается эти вопросы можно решать, не зная корней характеристических уравнений. В этих случаях применяют критерии устойчивости или иначе качественные критерии устойчивости. Качественные критерии устойчивости на основе некоторых математических преобразований характеристического уравнения или некоторых графических построений позволяют получить ответы на все вопросы, связанные с устойчивостью без нахождения корней характеристических уравнений.
Все критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные или графические. Из алгебраических наиболее распространён критерий Гурвица, из частотных - критерий Найквиста. Рассматриваем критерий устойчивости Гурвица.
В критерии Гурвица для решения вопросов устойчивости САУ используют её характеристическое уравнение
,
где
.
Если окажется, что
,
то уравнение умножается на -1. Эта операция
никак не отражается на корнях. Для
характеристического уравнения
составляется определитель Гурвица.
Порядок определителя Гурвица равен
степени характеристического уравнения.
Составляется определитель по следующему
правилу
В первую строку записываются коэффициенты характеристического уравнения с нечётными индексами слева направо в порядке их возрастания. Коэффициентов на всю строку не хватит, в оставшиеся её знакоместа записываются нули. В итоге получится
.
Вторая строка определителя Гурвица заполняется коэффициентами характеристического уравнения аналогично, но только берутся коэффициенты с чётными индексами
.
Следующая пара строк определителя получается из первой на основе круговой перестановки
В последующем, при переходе
к следующей паре строк, предыдущая пара
всегда подвергается круговой перестановке.
Этот процесс продолжается до тех пор,
пока не будут заполнены все
строк определителя.
В итоге определитель Гурвица имеет следующий вид
.
Формулировка критерия. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы при является положительность диагональных определителей в исходном определителе Гурвица.
Диагональные определители это следующие:
Диагональные определители,
как и любые определители, это квадратные
таблицы чисел, диагональные элементы
которых совпадают с диагональными
элементами определителя Гурвица. На
рисунке они выделены пунктирными
линиями. Обозначаются они
и вычисляются как обычно, например, на
основе разложения по строкам или столбцам
;
;
;
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Все определители, как это следует из критерия, должны быть положительными. Если при вычислениях появляется отрицательный определитель, то можно прекратить вычисления и сделать вывод о неустойчивости системы.
Пример. Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Построить для него определитель Гурвица.
В соответствии с рассмотренными рекомендациями составляем определитель Гурвица
.
Замечание. Если характеристическое уравнение нечётной степени, как в примере, то последний раз сдвигается только первая строка, а вторая вообще не рассматривается.
Пример. Определить устойчивость САУ, имеющей следующее характеристическое уравнение,
.
Составим определитель Гурвица
.
Находим диагональные определители
;
;
.
Поскольку определитель третьего порядка оказался отрицательным, то система неустойчива. Последний четвёртый определитель находить не имеет смысла, поскольку уже нарушилось условие устойчивости.