Основное правило получения передаточных функций по структурным схемам.
При получении передаточной функции автоматической системы по её структурной схеме следует пользоваться следующим алгоритмом:
1) В схеме выделяются типовые соединения. Хотя бы одно из них обязательно будет обнаружено.
2) Выделенные типовые соединения, заменяются своими эквивалентами.
3) Изображается новая структурная схема с учётом введённых равноценных замен.
К новой схеме опять применяются три выше указанных действия и так далее. Последовательно будут получаться новые схемы, но со всё более упрощающейся структурой.
В конце концов, получится структурная схема с одним единственным динамическим звеном. Его передаточная функция и будет разыскиваемой передаточной функцией между заданными входом и выходом.
Устойчивость линейных систем автоматического управления.
(Теоретическое приложение к п.5)
1. Понятие устойчивости системы автоматического управления.
При создании любой системы автоматического управления всегда необходимо позаботиться об её устойчивой работе, иначе она никогда не сможет выполнить свои функции. По этой причине ещё на стадии проектирования системы её надо проверять на устойчивость и, если будет проявляться неустойчивость, то принимать соответствующие меры.
Ограничимся следующим пониманием устойчивости.
Устойчивость системы автоматического управления связана с её способностью возвращаться в исходное состояние после исчезновения внешних воздействий, возмутивших её работу.
Равноценным пониманием устойчивости будет следующее: система будет устойчивой, если ограниченным входным воздействиям на неё будут соответствовать ограниченные реакции.
Тогда неустойчивой системой будет такая, у которой ограниченные входные воздействия вызывают неограниченные реакции, или после снятия входных воздействий нет движения к невозмущённому состоянию.
Эти понимания хорошо согласуются с интуитивным представлением об устойчивости.
2. Основное условие устойчивости линейной системы автоматического управления.
Выясним: в чём же заключается математическое условие устойчивой работы линейной САУ?
Каждая линейная система описывается своей передаточной функцией
или вытекающим из неё дифференциальным уравнением
,
где
,
и
,
входное воздействие и реакция на него
с их производными соответствующих
порядков.
Процесс управления
определяется решением данного уравнения.
Решение, как известно, состоит из двух
составляющих
.
Где
- вынужденная составляющая или частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения.
целиком и полностью определяется внешним
воздействием.
- переходная составляющая или общее
решение однородного дифференциального
уравнения, полностью определяется
свойствами автоматической системы.
описывает процессы в системе, вызванные
внешним воздействием.
описывает процессы в системе при ей
отклонении от положения статического
равновесия.
Проанализируем составляющие решения на возможность бесконечного возрастания. Начнём с вынужденной составляющей . Её, как известно, записывают по виду правой части дифференциального уравнения в максимально общем виде (вспомните, как это делалось в курсе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений). Здесь следует обратить внимание на то, что все практически существующие внешние воздействия ограничены, хотя иной раз и могут быть довольно большими (бесконечно больших величин в природе не существует). Ограничены в таком случае и производные внешних воздействий, а потому и вся функция в правой части анализируемого уравнения. Ну а поскольку, как сказано выше, - это самый общий вид ограниченной функции, то и вынужденная составляющая решения будет всегда ограниченной и не сможет сделать систему неустойчивой.
Рассмотрим переходную составляющую . Для её нахождения решается однородное дифференциальное уравнение
.
Решение линейного однородного уравнения записывается в виде
,
где
- корни характеристического уравнения
(если они все разные)
,
- произвольные постоянные, определяемые
через начальные условия.
Если сравнить характеристическое уравнение со знаменателем рассматриваемой передаточной функции
,
то видим, что они совпадают с точностью до обозначений. Поэтому знаменатель передаточной функции всегда можно рассматривать в качестве характеристического уравнения.
Переходная составляющая получается в виде набора экспонент. Экспонента – это функция, которая с течением времени может устремляться в бесконечность или к нулю. В силу этого переходная составляющая и будет определять устойчивость или неустойчивость системы автоматического управления. Как известно из математики, экспоненты в переходной составляющей будут убывать с течением времени, если их степени окажутся отрицательными или комплексными с отрицательными действительными частями. Это получится тогда, когда все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные действительные части. Этот вывод является общим условием устойчивости линейной САУ:
Это есть необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы автоматического управления.
Замечание. Полученный вывод об устойчивости будет справедлив и в случае кратных корней характеристического уравнения.