6. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Знание производной (или ряда производных) некоторой функции позволяет делать заключения о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат некоторые простые, но важные теоремы и формулы, которым и посвящен этот пункт курсовой работы.

Теорема ферма 6.1

Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке X и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если в этой точке существует конечная производная f (c),то необходимо

f (c)=0.

Доказательство

Пусть для определенности f(x ) принимает в точке c наибольшее значение, так что для всех x из X:

f(x )≤ f( c )

По определению производной:

f (c) ,

причем предел этот не зависит от того, будет ли x приближаться к c справа или слева.

Но при x >c выражение примет вид:

,

так что и в пределе, при , получится:

f (c)≤ 0 (1)

Если же x < c, то ,

и переходя здесь к пределу при , найдем:

f (c) ≥ 0 (2)

Сопоставляя соотношения (1) и (2),приходим к требуемому заключению:

f (c)=0.

Замечание .

Проведенное рассуждение, в сущности, доказывает ,что в упомянутой точке c не может существовать (и двусторонней) бесконечной производной .Таким образом ,заключение теоремы сохранится, если предположить в этой точке существование (двусторонней) производной .

Пример

Вспомним геометрическое истолкование производной

y =f (x), как углового коэффициента касательной к кривой

y = f( x ).Обращение в нуль производной f ( c ) геометрически означает, что в соответствующей точке этой кривой касательная параллельна оси x. Рисунок делает это обстоятельство совершенно наглядным.

В доказательстве существенно было использовано предположение, что c является внутренней точкой промежутка, так как нам пришлось рассматривать и точки x справа от c,и точки слева от c.без этого предположения теорема перестала бы быть верной: если функция

f( x )определена в замкнутом промежутке и достигает своего наибольшего(наименьшего) значения на одном из концов этого промежутка, то производная f (x) на этом конце(если существует) может и не может быть нулем.

Теорема Ролля

В основе многих теорем и формул дифференциального исчисления и его приложений лежит следующая простая, но очень важная теорема, связанная с именем Ролля (1652-1719 - французский математик, который долгое время был противником нового исчисления и примкнул к нему уже на склоне лет).

Приводимая теорема в тексте была высказана им лишь для многочленов.

Теорема Ролля 6.2

Пусть:

1)функция f(x)определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]

2)существует конечная производная f’(x),по крайней мере, в открытом промежутке (a,b*));

3)на концах промежутка функция принимает равные значения f(a)=f(b);

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b),чтоf’(c)=0.

Доказательство

f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a, b]и потому по второй теореме Вейерштрасса (п.2 стр.134.фихтенгольц)принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M,так и свое наименьшее значение m .

Рассмотрим два случая:

1. M=m.Тогда f(x) в промежутке [a ,b]сохраняет постоянное значение :в самом деле, неравенство m≤ f(x)≤ M в этом случае дает f(x)=M при всех x, поэтому f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве c можно взять любую точку из (a, b).

2. M>m.Зная, что оба эти значения функцией достигаются ,но, так как f(a)=f(b) ,то они не могут оба достигаться на концах промежутка ,и хоть одно из них достигается в некоторой точке c между a и b .В таком случае, из теоремы Ферма следует, что производная f’(c) в этой точке обращается в нуль.

Теорема доказана.

Геометрическая смысл теоремы в том, что если крайние ординаты кривой совпадают, то найдется точка , в которой касательная к кривой параллельна оси Ох.

Теорема о конечных приращениях.

Обратимся к непосредственным следствиям теоремы Ролля. Первым из них является следующая теорема о конечных приращениях, принадлежащая Лагранжу.

Теорема лагранжа.6.3

Пусть:

1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b],

2)существует конечная производная f (x) ,по крайней мере, в открытом промежутке (a,b).

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b) что для нее выполняется равенство

.

Доказательство (стр.180 [2])

Предел производной.6.4

Предположим ,что функция f(x), непрерывна в промежутке

[ ] (H>0) и имеет конечную производную f’(x) для x> .Если существует (конечный предел или нет) предел

,то такова же будет и производная в точке справа. Действительно, при 0 < ∆x ≤ H имеем равенство .Так как аргумент c производной содержится между и ,то при ∆x он стремится к ,так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу K,что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение устанавливается и для левосторонней окрестности точки .

Рассмотрим в качестве примера функцию

f (x)=x arcsin x +

В промежутке [-1,1].если -1<x<1,то обычным правилам дифференциального исчисления легко найти:

f (x)=arcsin x.

При x эта производная, очевидно, стремится к пределу ; значит и при x= ± 1 существуют (односторонние) производные:

f ( ± 1)= ± .

Если вернуться к функциям , ,которые мы рассматривали, то для них (при ) имеем:

,

Так как первое из этих выражений при стремится к +∞, а второе при имеет, соответственно, пределы ± ∞,то заключаем сразу, что в точке x=0 имеет двустороннюю производную +∞. В то время, как для в этой точке существуют лишь односторонние производные: справа +∞ и слева -∞. Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная f (x) существует в некотором промежутке, то она представляет собой функцию, которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода.

Обобщенная теорема о конечных приращениях.

Коши следующим образом обобщил доказанную в предыдущем пункте теорему о конечных приращениях.

Теорема Коши.6.5

Пусть:

1)функции f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a,b]

2)существуют конечные производные f ( x ) и g ( x ),по крайней мере, в открытом промежутке(a,b);

3)g (x ) ≠ 0 в промежутке (a,b).

Тогда между a и b найдется такая точка c ,что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство

Предположим, что знаменатель левой части нашего равенства не равен нулю, так как в противном случае выражение не имело бы смысла. Если бы было g(b)=g(a) ,то, по теореме Ролля, производная g (x) в некоторой промежуточной точке была бы равна нулю, что противоречит условию 3);значит, g(b)≠g(a).

Рассмотрим теперь вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

В самом деле,F(x) непрерывна в [a, b] ,так как непрерывны f(x) и g(x);производная F (x) существует в (a, b),именно, она равна

Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что

F( a )=F( b )=0 .

Применяя названную теорему, заключаем о существовании между a и b такой точки c ,что F’(c)=0 .Иначе говоря,

Или

Разделив на g'(c )(это возможно, так как g (c) , получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Для конечных приращений из формулы Коши следует положить g( x )=x.