4. Правила вычисления производной.
Получим теперь формулы для производных суммы, произведения и частного функции.
Теорема 4.1.
Пусть
функция
и определены в окрестности точки
и
имеют в самой точке 
производные,
тогда и их сумма
произведение
,а
если
,то
и частное
имеют
в точке
производные,
причем:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(в формулах 4.1- 4.3, при x= )
Следствие
1.Если
функция y=f(x)
имеет
производную в точке
c
∊
R,то
функция также имеет в этой точке
производную, причем:
(c y) =cy (x= ) (4.4)
Следствие
2.Если
функции 
,
k=1,2…,n,имеют
в точке 
производные,
то всякая их линейная комбинация также
имеет в этой точке производную, причем
+….+
)
=
…+
,
Доказательство (стр. 288, [1]).
Замечание
Используя
свойства бесконечных пределов, относящиеся
к арифметическим действиям над функциями,
можно установить и соответствующие
свойства бесконечных производных.
Например, если существует конечная
производная
и бесконечная (определенного знака)
производная
,то
у функции y(x)=
в
точке
существует
бесконечная производная того же знака.
Например,
если
,
то
. Действительно, ∆y=∆
+
.Поэтому,
если существует конечный предел
, а 
,
то
т.е.
.
Примеры
1.Пусть
;
в силу формул 4.1,4.2 и 4.4 имеем
y
=
(
)
-
2(
)
=
.
2.Пусть
;
так как 
,
то по формуле (4.3)получаем
.
Таким
образом,
.
3.Аналогично, для y=ctg x
т.е.
(ctg
x)
=
.
Свойства(4.1-4.4) переносятся и на дифференциалы функций.
При тех же предположениях относительно дифференцируемости в точке имеем:
d(
)=d
d(
)=
,
d(cy)
=cdy , d(
=
Вычислим, например, дифференциал произведения y = :
dy
= y
dx=
)
dx=
так
как
.
Аналогично доказываются остальные формулы.
5. Производная и дифференциал сложной функции.
Теорема 5.1.
Пусть
функция y = f( x
) имеет производную в точке
,
а функция z
= F(y)
имеет
производную в точке
)
.тогда
сложная функция Ф(x)=F[f(x)]
также имеет производную при x
=
,причем
Ф'(
=F
(
(5.1)
Доказательство (с.294.[1])
Если
сложную функцию Ф обозначить символом
Ф=F
(см.п.5.2
[1]),
то формулу (5.1)можно записать в виде:
(F
.
Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке производной сложной функции F[f(x)] содержит предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т.е. определена в некоторой окрестности точки .
Опуская значение аргумента, и используя запись производной, с помощью дифференциалов равенство можно переписать в виде
=
.
Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной ):
dz = F ( )dy=Ф ( )dx. ( 5.2)
В
этой формуле 
является дифференциалом функции у
(х),
а dx -дифференциалом независимой переменной.
Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» - независимо от того, является эта переменная , в свою очередь, функцией или независимой переменной.
Доказательство.
Согласно формуле (5.2) dz=
Ф’(
)dx,
Отсюда, применив формулу (5.1) для
производной сложной функции, получим
dz=F
(
,но 
,поэтому
dz=F
(
.
Формулу
(5.1) можно интерпретировать и несколько
иначе, если вспомнить, что дифференциалом
функции в точке является функция,
линейная относительно дифференциала
независимой переменной. Согласно (5.1),
дифференциал функции Ф(x)=F(f(x))
имеет
вид dФ=F'(y)f
)dx.
То есть является результатом подстановки
линейной функции 
,с
помощью которой задан дифференциал, df
(где
y=f(x))
в линейную функцию dz=
,
задающую дифференциал dF
(где z=F(y)).иначе
говоря, дифференциал композиции
Ф
является
композицией дифференциалов,
dF
и
df:
Отметим, что теорема 5 по индукции распространяется на суперпозицию любого конечного числа функций. Например, для сложной функции вида z(y(x(y))) в случае дифференцируемости функций z(y), y(x) и x(t) в соответствующих точках имеет место формула
=
.
Примеры
Пусть ,
найдем
.
Имеем 
,где
.
Заметим,
что
, получаем 
.
Следовательно,
.
Например,
если,y=
то
если,
то
если,
то
Если
функция y=
определена
при x<0
,то
при этих значениях x
она
также имеет производную y
=
.
2.Пусть
y=ln|x|,
;тогда
при x
>0
имеем,
а при x<0
y
=
[ln(-x)]’=
.
Таким
образом, для всех 
справедлива
формула
(ln|x|)
=
(5.3)
Отсюда, по правилу дифференцирования сложной функции, для любой функции u(x) в точках x,в которых существует производная u (x),а u(x)≠ 0 имеет место соотношение:
(ln|u(x)|)
(5.4)
3.Найдем производную функции
y=
.
В силу имеем
y’=
=
Замечание. Используя теорему 4,можно все полученные формулы для производных основных элементарных функции записать в более общем виде: если u=u(x)–дифференцируемая функция, то:
(sin u) =u cosu;
(cos u) =- u’sinu;
(tg u) =
(ctg u) =-
(ln u) =
(arcsin u) =
(arcos u) = -
(arctg u) =
(arcctg u) =
Из приведенных формул видно (при x=u),что производные основных элементарных функций являются элементарными функциями.
Полученные же в совокупности формулы дают возможность вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае , если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках своей области определения.
примером
элементарной, дифференцируемой не во
всех точках функции является функция
|x|=
Она,
как мы знаем, не имеет производной в
точке x=0.