5.2.6. Pазностная модель и прогноз

Для временнóго ряда z _i (i = 0, 1, 2, ...) можно построить разно-стную модель порядка р  1 вида z _{k + 1} =  _i z _{k + 1 - i} +  (зависи-мость наблюдаемых значений от предыдущих), где коэффициенты  _i,

 находятся из условий

(z _{k + 1} -  _i z _{k + 1 - i} - ) ² → min .

Пусть фиксированы n, p, положим i 0 . . n - 1, j 0 . . n - p - 1,

k 0 . . p, сформируем матрицы A _j,k , b _j z _{j + p}.

Тогда вектор искомых коэффициентов находится функцией Geninv (обобщенная обратная матрица): s = Geninv(A)b (или minerr).

Для того, чтобы построить непрерывную модель, решим разнос-тные соотношения z _{k + 1} = s _i z _{k - i} + s _p (k  p - 1) в терминах пока-зательных функций - степеней корней характеристического уравнения r ^p = s _i r ^{p - i - 1}. Если {r _i} - корни характеристического уравнения, то коэффициенты c _i (i = 0, ..., p) представления z _k^* ≈ c_i r _i^k + c _p мож-но получить из условия (z _i - z _i^*) ² → min (подробнее – см. пример).

Пример. Рассмотрим кубическую параболу

у(х) = 10х(х - 1)(х - 2),

заданную в 20 точках промежутка [0, 2] своими значениями, возму-щенными равномерным "шумом", построим дискретную модель 3- го порядка, построим прогноз последних пяти значений по предыдущим

точкам и, наконец, создадим непрерывную модель процесса.

n 20 p 3 (порядок модели) h i 0 . . n x _i i  h

y _i 10  x _i  (x _i - 1)  (x _i - 2) m 5 (число точек прогноза)

z _i y _i + rnd(2) - 1 (равномерная помеха процессу)

Подготовка к вычислению коэффициентов дискретной модели:

j 0 . . n - p - 1 k 0 . . p A _j,k := if (k < p, z _{j + p - k - 1} , 1) b _j z _{j + p}

s geninv(A)  b s ^T = (1.121034 0.268413 - 0.562349 - 1.404969  10 ^{- 3})

(коэффициенты разностной модели)

zp z v n - m . . n - 1 zp _v s _t  zp _{v - t - 1} + s _p (прогноз)

Построение непрерывной модели:

a _k if (k = p, 1, - s _{p - k - 1}) (коэффициенты характеристического многочлена)

a ^T = (0.562349 - 0.268413 - 1.121034 1) r polyroot(a)

r ^T = (- 0.645313 0.883174 - 0.302389i 0.883174 + 0.302389i) (корни многочлена)

d | r ₂ | d = 0.933507  angle(Re(r ₁), | Im(r ₁) |)

(модуль и аргумент комплексного корня)

B _{i, k} (r ₀) ⁱ if k = 0 c geninv(B)  z

(d ⁱ  cos(i  )) if k = 1

(d ⁱ  sin(i  )) if k = 2 c ^T = (0.321843 -1.462531 7.331131 -0.841310)

1 Otherwise (коэффициенты непрерывной модели)

f(t) c ₀  (| r ₀ |)  cos + d  (c ₁  cos + c ₂  sin ) + c ₃

(непрерывная модель)

Результаты можно сравнить на графике (рис. 6):

Рис. 6

В пакете Mcad имеется специальная функция predict, позволя-ющая построить недлинный прогноз по последним значениям времен-

ного ряда. Сравним последние значения ряда z, прогнозируемые с помощью разностной модели zp, соответствующие значения "чистого"

ряда y и значения, полученные функцией predict(z, n-5, 5) (табл. 7):

Таблица 7

y	- 3.75	- 3.84	- 3.57	- 2.88	- 1.71
z	- 4.5328	- 3.1776	- 4.2602	- 3.7213	- 1.4280
zp	- 4.1445	- 3.9104	- 3.3896	- 2.5203	- 1.5375
predict	- 1.2452	0.6200	2.7957	2.0844	3.0793