Iter(a, b, e) n  Last (b)

for i  0 . . n

r  (A _{i, i} ) ^-1, x _i  b _i ∙ r

s _i  x _i , y _i  0

for j  0 . . n

T _{i, j}  if (i = j, 0, A _{i, j} ∙ r)

while |x - y| > e

y  x, x  s - Ty

x

C. Во многих задачах матрицы линейных систем уравнений ока-зываются сильно разреженными (бóльшая часть элементов – нули). Эту специфику также можно "употребить во благо". Например, в слу-чае 3-диагональных систем уравнений (А _i,j = 0 при | i - j | > 1), очень эффективен метод "прогонки", использующий лишь эти три диагона-ли матрицы данных. Будем считать, что система линейных уравнений

имеет вид:

Из первого уравнения имеем: x ₀ = b ₀ / a ₀₁ , x ₁ = u ₀ - v ₀ x ₁ . Если уже

найдено представление

x _{i - 1}= u _{i - 1} - v _{i - 1} x _i ( i > 1), (1)

то из уравнения a _{i 0} (u _{i - 1} - v _{i - 1} x _i ) + a _{i 1} x _i + a _{i 2} x _{i + 1} = b _i получаем

x _i = u _i - v _i x _{i + 1} , где теперь

u _i = v _i = (i = 1, 2, ...) . (2)

Тогда из последнего уравнения x _{n - 1} = и по форму-ле (1) получаем x _i для всех i = n - 2, n - 3, ... , 1, 0 (обратный ход про-гонки, формулы (2) определяют прямой ход). Очевидно, что для хра-нения значений u _i , v _i можно использовать измененные x _i , b _i . Поэ-тому программа, реализующая процесс прогонки, может быть записа-на достаточно компактно и просто. С вычислительной точки зрения метод прогонки имеет много очевидных преимуществ перед методом итераций (например, программа легко справляется с системой уравне-ний с более чем 10000 неизвестных). В MathCad метод можно офор-мить в виде функции:

P rog(A, b) n  Last(b)

x ₀  b ₀ (A _{0, 1}) ^-1, b ₀  A _{0, 2} (A _{0, 1}) ^-1

for i  1 . . n

p  (A _{i, 1} - A _{i, 0} b _{i - 1}) ^-1

x _i  (b _i - A _{i, 0} x _{i - 1})  p, b _i  A _{i, 2}  p

for i  n - 1 . . 0

x _i  x _i - b _i  x _{i + 1}

x

D. Переопределенные системы линейных уравнений удобно ре-

шать методом обобщенной обратной матрицы A⁺, возвращаемой функ-цией Geninv. Матрица A⁺ = (A^TA)^-1A^T обладает свойством аналогич-ным свойству настоящей обратной матрицы: A⁺AA⁺ = A⁺, AA⁺A = A. Полученное "решение" не является решением системы уравнений в обычном смысле, оно минимизирует скалярный квадрат разности меж-ду левой и правой частями системы (метод наименьших квадратов). Пусть, например, через точки (x _i , y _i ), i = 0, ... ,n - 1, плоскости нужно провести параболу вида у = ах² + bх + с, наименее уклоняющуюся (в смысле наименьших квадратов) от исходных данных. Составим матри-цу для i = 0 ... n - 1, j = 0 ... 2, A _{i, j} . Тогда решение за-дачи, т. е. вектор коэффициентов (a, b, c), возвращает Geninv(A)  y.

Аналогично можно решать любую линейную задачу среднеквадратич-

ного приближения (см. также функции Slope, Intercept, Regress). Для простейшей ситуации y = a x + b (линейная регрессия) коэффициенты

получаются стандартно как a = Slope(x, y), b = Intercept(x, y).