В.2. Марковские случайные процессы
Переход СМО из одного состояния в другое случайным образом называется случайным процессом.
Пример: на бензоколонке время от времени возникают и исчезают очереди, появляется и исчезает бензин и т.д. Процесс, протекающий на бензоколонке, является случайным.
Случайный процесс называется марковским процессом (случайным процессом без последействия), если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем (в момент t1 > t0) зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, как система пришла в это состояние в момент t0.
Пример: на бензоколонке в момент t0 3 автомобиля в очереди и 1 заправляется; её состояние при t1 > t0 не зависит от того, какова история образования этого состояния, а зависит только от ее состояния в момент t0.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S0, S1, S2, ….. можно заранее перенумеровать и переход СМО из состояния в состояние происходит мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее и переход может осуществляться в любой момент.
Пример: на бензоколонке с одним заправочным устройством одновременно могут находиться не более 3 автомобилей. Возможные состояния:
S0 – ни одного автомобиля;
S1 – 1 автомобиль заправляется, очередь пуста;
S2 – 1 заправляется, 1 в очереди;
S3 – 1 заправляется, 2-в очереди.
Здесь переход из одного состояния в другое происходит практически мгновенно, в случайные моменты времени. Следовательно, это марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
В.3. Графы состояний
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями широко используются графы состояний. Состояния изображаются прямоугольниками, а возможные переходы стрелками.
Построим граф состояний для рассмотренного выше примера.
Переход Si
Si+1
-
прибытие очередного автомобиля.
Переход Si
Si-1
(
)
– убытие заправленного автомобиля.
При построении графа состояний СМО принимается, что вероятность строго одновременного появления двух или более заявок на входе системы или двух или более обслуженных заявок на выходе равна нулю. В данном случае переход из S0 в S2 или S3 невозможен.
В.4. Потоки событий
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.
Поток характеризуется интенсивностью потока событий – частотой появления событий (или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени).
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через равные промежутки времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Здесь =const.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся интервалов времени 1 и 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.
Поток событий называется ординарным, если совпадение в один и тот же момент времени двух и более событий невозможно.
Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.
Если на графе состояний СМО у каждой стрелки проставить интенсивность потока событий, то такой граф называется размеченным графом состояний. Здесь ij – интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj
Размеченный граф состояний для бензоколонки (из ранее рассмотренного примера):