8.2.2. Многоканальная смо с неограниченной очередью

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Граф состояний:

λ λ λ λ λ λ

S₀ S₁ S₂ S_n S_{n+1 …..}

μ 2μ 3μ nμ nμ nμ

Если , то предельные вероятности существуют. Если , то очередь растет до бесконечности.

, , ,…, , ...,

- вероятность, что в очереди находятся r заявок.

Вероятность, что заявка окажется в очереди: ,

, L_сист= L_оч + ρ, , P_отк= 0, Q = 1, A = λ, k = ρ.

Пример 8. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя 2 мин. Определить:

1. Минимальное количество контролеров-кассиров n_min , при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = n_min.

2. Оптимальное количество контролеров –кассиров n_опт, при котором относительная величина затрат С_отн = будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n = n_min и n = n_опт.

3. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей.

8.2.3. Смо с ограниченной очередью

Число заявок в очереди ограничено (не превосходит некоторого заданного m).

Если все каналы заняты, заявка становится в очередь только в том случае, если в ней находится менее m заявок. В противном случае поступающая заявка покидает СМО необслуженной. Граф состояний СМО имеет вид:

Это соответствует схеме гибели и размножения. Применяем соответствующие формулы, получаем:

Одноканальная СМО	Многоканальная СМО
, (ρ ≠ 1) , …, , (ρ = 1)	, …, , … , , .
Ротк = , (ρ ≠ 1) , (ρ = 1)	Ротк =
Q = 1 – Ротк	Q = 1 – Ротк
А = λQ	А = λQ
, (ρ ≠ 1)
Lоб = 1 – p0 – среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)
Lсист = Lоч + Lоб	Lсист = Lоч +
,	,

Задача 9. По условиям примера 7 найти показатели эффективности работы причала, если известно, что приходящее судно покидает причал, если в очереди находится 3 судна.

Задача 10. АЗС с двумя колонками обслуживает поток машин с интенсивностью 2 машины в минуту, среднее время обслуживания 1 машины 2 минуты. Найти показатели эффективности работы АЗС, если известно, что площадка у АЗС может вместить не более 3-х машин.

Примеры задач смо

Пример 1. В мужском зале парикмахерской 2 мастера стригут мужчин, а 2 мастера – детей. Заказы от детей и взрослых поступают с одинаковой интенсивностью 5 зак/час. Среднее время стрижки одинаково – 20 мин. Руководство решило объединить мастеров в одну группу, где стригут и детей, и взрослых. При этом детские мастера стали стричь взрослых за 22 мин., а взрослые мастера – детей также за 22 мин.

Увеличилось ли время ожидания клиента в очереди при объединении двух групп в одну?

Решение. Парикмахерская является СМО с неограниченной длиной очереди.

Определим среднее время ожидания клиента в очереди для специализированных групп парикмахеров. Условия работы обеих групп одинаковы:

n=2, λ=5 зак/час, t_обс.=20 мин/зак = ч/зак.

Среднее время ожидания клиентов в обеих группах будет одинаковым.

Интенсивность нагрузки: ; . Следовательно, у СМО существует установившийся режим работы. Средняя доля времени простоя парикмахеров из-за отсутствия клиентов:

Примерно 9% своего рабочего времени парикмахеры простаивают.

Среднее число клиентов в очереди:

Среднее время пребывания клиента в очереди:

Теперь рассмотрим работу объединенной группы. Интенсивность входного потока здесь равна сумме интенсивностей потоков детей и мужчин:

λ= 5+5 =10

n=4 – общее число каналов обслуживания.

Поскольку входные потоки детей и мужчин одинаковы, среднее время обслуживания может определяться следующим образом:

Интенсивность нагрузки:

Следовательно:

У СМО существует установившийся режим работы.

Средняя доля времени простоя парикмахеров:

В объединенной группе время простоя стало значительно меньше, чем в специализированной группе. Почему?

Средняя длина очереди:

В предыдущем случае было две очереди по 3,79 человека, а общее число ожидающих было в среднем . Теперь ожидающих стало меньше.

Среднее время пребывания в очереди:

Это время сократилось. Было 0,758 час.

Пример 2. Комбинат общественного питания получает овощи из теплиц пригородного совхоза. Автомобили с грузом прибывают в случайные моменты времени с интенсивностью λ=6 машин в день. Подобные помещения и прочее позволяют обрабатывать и хранить товар в объеме m=2 автомобилей. На комбинате работают n=3 повара, каждый может обрабатывать товар с 1 машины за t_обс.= 4 часа. Рабочий день повара при сменной работе 12 часов. Какова должна быть емкость складского помещения, чтобы вероятность обработки товаров была больше или равна Р_обс. = 0,97.

Решение. Последовательно определяем показатели состояния комбината как СМО для различных значений емкости склада m= 2,3,4 и т.д., и на каждом этапе сравниваем вероятности обслуживания с заданной величиной.

Интенсивность нагрузки поваров:

Вероятность простоя поваров для m=2:

Доля машин, получивших отказ в обслуживании:

Вероятность обслуживания:

Полученная величина меньше требуемой 0,97, поэтому продолжим вычисления для m=3. Получим:

p_о = 0,122; p_отк. = 0,048; p_обс. = 1- p_отк. = 0,952.

Вероятность обслуживания и в этом случае меньше заданной величины, поэтому примем m=4, для этого состояния получим следующие значения:

p_о = 0,12; p_отк. = 0,028; p_обс. = 0,972  0,97.

Теперь полученная величина вероятности обслуживания удовлетворяет условию задачи, следовательно, емкость склада необходимо увеличить до m=4 автомобиля.

Для достижения заданной вероятности обслуживания можно подобрать таким же образом количество поваров, проводя последовательно вычисления показателей для n=3,4,5 и т.д.

Оптимальный вариант решения можно найти путем сравнения дополнительных затрат при различных вариантах реорганизации работы комбината для достижения p_обс.=0,97.

26