8.1.2. Многоканальная смо с отказами

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ.

СМО имеет следующие состояния(нумеруем их по числу заявок): S₀, S₁, …, S_k,…,S_n.

S_k – состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний соответствует процессу гибели и размножения:

λ λ λ λ λ λ

S₀ S₁ S₂ S_к S_n

μ 2μ 3μ kμ (k+1)μ nμ

Интенсивность потока обслуживания меняется, т.к. если, например СМО находится в состоянии S₂ (когда заняты 2 канала), то она может перейти в состояние S₁ (занят 1 канал), когда закончит работу либо первый канал, либо второй. Интенсивность каждого канала μ, т.е. суммарная интенсивность потоков обслуживаний будет 2μ.

Формулы для предельных вероятностей состояний: .

Обозначим - приведенная интенсивность потока заявок (интенсивность нагрузки канала) - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.

Тогда ,

, , …, . – Формулы Эрланга.

Вероятность отказа равна предельной вероятности того, что все каналы будут заняты:

P_отк = p_n = .

Вероятность того, что заявка будет обслужена (относительная пропускная способность):

Q = 1 - P_отк.

Абсолютная пропускная способность: А = λ∙Q. Среднее число занятых каналов: .

Задача 5. Решить пример 3 для случая 4 телефонных номеров.

Найти минимальное число телефонных номеров, чтобы не меньше 90 заявок на переговоры из 100 были обслужены.

Задача 6. В ВЦ коллективного пользования с 3 ЭВМ поступают заказы на вычислительные работы. Если все машины заняты, то заказ не принимается. Среднее время обслуживания 3 ч, λ = 0,25 заяв/час. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы ВЦ.

8.2. Смо с ожиданием (очередью)

Показатели эффективности: А, Q, P_отк, .

L_сист – среднее число заявок в системе;

T_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч – среднее число заявок в очереди;

T_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

P_зан – вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

8.2.1. Одноканальная смо с неограниченной очередью

Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, поток обслуживания – интенсивность μ.

Система может находится в одном из состояний: S₀, S₁, …, S_k… S₀, - канал свободен, S₁, - канал занят, …, S_k, - канал занят и (k – 1) заявок в очереди.

Граф состояний:

λ λ λ λ λ

S₀ S₁ S₂ S_к

μ μ μ μ μ

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний.

Доказано, что если ρ< 1 (т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в ед.времени)), то предельные вероятности существуют.

Если ρ≥1, то очередь растет до бесконечности (система не справляется с обслуживанием).

Формулы для предельных вероятностей состояний:

p₀ = 1 - ρ, p_k = ρ^kp₀.

Среднее число заявок в системе .

Среднее число заявок в очереди L_оч = L_сист – L_об, где L_об – среднее число заявок, которые обслуживаются. Среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят: L_об = Рзан = 1 – р₀ = ρ. Тогда L_оч = .

Формулы Литтла: среднее время пребывания заявки в системе ,

сред. время пребывания заявки в очереди .

P_отк= 0, Q = 1, A = λ.

Задача 7. В порту имеется 1 причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов 0,4 судна в сутки. Среднее время разгрузки 1 судна – 2 суток. Очередь м.б. неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.