5.Цифровые фильтры Чебышева.

Фильтры первого рода. Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода). Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

|H(W)|² = 1/ [1+_N² T_N²(W)], (10.4.1)

где Т_N(W) - многочлен Чебышева N-го порядка:

T_n(W) = cos(n arccos(W)), W 1. (10.4.2)

= ch(n arcch(W)), W>1. n = 1,2,...

Критерий приближения Чебышева, который широко используется не только в теории фильтров - минимум максимальной ошибки приближения (минимаксное приближение). В соответствии с этим приближением параметры передаточной функции подбираются таким образом, чтобы в полосе передачи АЧХ наблюдались равноволновые пульсации коэффициента передачи, которые являются "платой" за повышение крутизны среза фильтра.

Полиномы Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле:

T_n(W) = 2W T_n-1(W) - T_n-2(W), (10.4.3)

T₁(W) = W, T_o(W) = 1.

Для ФНЧ при W = /_p имеет место Т_n(1) = 1, |H(W)|² = 1/(1+²) и значением  задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню А_p значение  рассчитывается аналогично фильтру Баттеруорта.

Соответственно, при задании А_s на границе полосы подавления, имеем:

1/(1+² T_N²(_s/_p)) = A_s². (10.4.4)

N = arcch[ /] / arcch(_s/_p). (10.4.5)

Дальнейшие расчеты идентичны расчетам фильтров Баттеруорта, равно как и частотные преобразования фильтров ФНЧ в ФВЧ и ПФ.

Фильтры второго рода. Для фильтров Чебышева второго рода, с гладкой передаточной характеристикой в зоне пропускания и равноволновыми пульсациями в зоне подавления, используется функция:

|H(W)|² = 1/[1+²(T_N²(W_s)/T_N²(W_s/W))], (10.4.6)

где W = /_p, W_s = _s/_p. Условие задания параметра  остается без изменений. На границе полосы подавления при = _s: 1+²T_N²(_s/_p) = 1/A_s², откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода.

6.Ключевые операции цифровой обработки

К основным оперциям относятся свертка (конволюция), корреляция, фильтрация, функциональные преобразования, модуляция. Линейная свертка – основная операция ЦОС. Для двух конечных причинных последовательностей h(n) и y(k) длиной соответственно N и K свертка определяется выражением: s(k) = h(n) ③ y(k)  h(n) _* y(k) = h(n) y(k-n), Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал для установленного значения входного сигнала при известном импульсном отклике системы. Обратная задача деконволюции - определение функции y(k) по функциям s(k) и h(n), имеет решение только при определенных условияхКорреляция существует в двух формах: автокорреляции и взаимной корреляции. Взаимно-корреляционная функция (ВКФ, cross-correlation function - CCF), и ее частный случай для центрированных сигналов функция взаимной ковариации (ФВК) – это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов. Для двух последовательностей x(k) и y(k) длиной К с нулевыми средними значениями оценка взаимной ковариации выполняется по формулам:K_xy(n) = (1/(K-n+1)) x(k) y(k+n), n = 0, 1, 2, K_xy(n) = (1/(Kn+1)) x(k-n) y(k), n = 0, -1, -2, Относительный количественный показатель степени сходства двух сигналов x(k) и y(k) - функция взаимных корреляционных коэффициентов _xy(n). Она вычисляется через центрированные значения сигналов (для вычисления взаимной ковариации нецентрированных сигналов достаточно центрировать только один из них), и нормируется на произведение значений стандартов (средних квадратических вариаций) функций x(k) и y(k):_xy(n) = K_xy(n)/_x _y). _x² = K_xx(0) = (1/(K+1)) (x(k))², _y² = K_yy(0) = (1/(K+1)) (y(k))². Автокорреляционная функция (АКФ, correlation function, CF) является количественной интегральной характеристикой формы сигнала,B_x(n) = (1/(K-n+1)) x(k) x(k+n), n = 0, 1, 2, Линейная цифровая фильтрация является одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, и определяется какs(k) = h(n) y(k-n), где: h(n), n=0, 1, 2, … , N – коэффициенты фильтра, y(k) и s(k) – вход и выход фильтра. Это по сути свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра. К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация.Дискретные преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной. Самым распространенным преобразованием является дискретное преобразование Фурье. При K отсчетов функции:S(n) = s(k) exp(-j 2 kn/K). дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции.:f = 1/T = 1/(Kt), t = 1/2f_N = 1/(Nf), tf = 1/N, N = 2Tf_N = K Т.е.для преобразований без потерь информации число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми.Модуляция сигналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции. При модуляции значения информационного (модулирующего) сигнала переносятся на определенный параметр высокочастотного (несущего) сигнала.Самые распространенные схемы модуляции для передачи цифровой информации по широкополосным каналам – это амплитудная (amplitude shift keying – ASK), фазовая (phase shift keying – PSK) и частотная (frequensy shift keying – FSK) манипуляции. При передаче данных по цифровым сетям используется также импульсно-кодовая модуляция (pulse code modulation – PCM).