23.Деформация частотной шкалы.

Деформация частотной шкалы. Реальное отображение передаточных функций фильтров является непрерывным (в силу своей физической сущности) и для упрощения дальнейших расчетов обычно задается в аналитической форме в комплексной р-плоскости по частотному аргументу ω от - до +. При билинейном z-преобразовании происходит нелинейное искажение шкалы частот: полный частотный диапазон от - до  непрерывных функций в р-плоскости сжимается до главного частотного диапазона от -/t до /t дискретных функций в z-плоскости. При задании уравнений непрерывных передаточных функций в частотной области это должно сопровождаться соответствующей обратной деформацией частотной шкалы, которая будет скомпенсирована при билинейном z-преобразовании. Подставляя в (9.4.2) z = exp(-jt) и умножая числитель и знаменатель правой части полученного уравнения на exp(jt/2), получим:

p = (2/t)[exp(jt/2)-exp(-jt/2)] / [exp(jt/2)+exp(-jt/2)],

p = (2/t) th(jt/2). (9.4.5)

Обозначим новую шкалу частот в р-области через индекс _д (деформированная) и, полагая p = j_д, с учетом тождества th(x) = - jtg(jx), получаем:

_д = (2/t) tg(t/2) = tg(t/2), -/t<</t. (9.4.6)

Рис. 9.4.2. Деформация частоты.

Выражение (9.4.6) позволяет осуществлять переход от фактических частот  главного частотного диапазона, которым должен соответствовать оператор РЦФ, к деформированным частотам _д комплексной p-плоскости, на которой можно задавать требуемую форму передаточной функции проектируемого фильтра, при этом аппроксимация передаточных функций, учитывая область существования  от - до может производиться многочленами и рациональными функциями. Связь частот приведена на рис. 9.4.2 (в начальной части пространства деформированных частот).

24.Аппроксимационная задача синтеза фильтров. Передаточная функция фильтров

Аппроксимационная задача низкочастотного фильтра. В качестве основных исходных данных для решения аппроксимационных задач принимаются граничные частоты _p - полосы пропускания, и _s – начала полосы подавления сигнала. Как правило, задаются также допуски А_р - на максимальное значение неравномерности в полосе пропускания, и А_s – на максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе подавления (уровень шума фильтра). Разность между граничными частотами _p и _s будет определять ширину переходной зоны. Типичный пример задания формы АЧХ приведен на рис. 9.5.1. В допустимой зоне передаточной функции условно показана возможная форма АЧХ, удовлетворяющая заданным условиям.

Рис. 9.5.1. Частотная характеристика ФНЧ.

Кроме основных частотных параметров могут задаваться и требования к форме АЧХ (монотонность в полосе пропускания или подавления, характер пульсаций и т.п.), которые определяют выбор функции аппроксимации.

Передаточная функция. При решении аппроксимационной задачи амплитудно-частотная характеристика фильтра обычно задается в действительной аналитической форме - виде квадрата передаточной функции, нормированной по амплитуде и граничной частоте передачи:|H(W)|² = H(W)·H*(W) = 1/(1+A_n(W))

где А_n(W) - многочлен n-го порядка, W - нормированная частота (например, W = /_p). Вид многочлена А_n(W) выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие: А_n(W) << 1 при 0<W<1, что обеспечивает |H(W)|²  1, и A_n(W) >> 1 при W>1, соответственно |H(W)|²  0. Крутизна переходных зон фильтра устанавливается величиной порядка фильтра (чем больше значение n, тем больше крутизна переходных зон).

По знаменателю правой части выражения (9.5.1) достаточно просто могут быть определены комплексные полюса передаточной функции в p-области преобразования Лапласа и соответствующим комбинированием и объединением комплексно-сопряженных полюсов получены передаточные функции в виде биквадратных блоков при четном порядке, и с одним линейным блоком при нечетном порядке:

H(p) = G В_n(p), n-четное, H(p) = В_n(р), n-нечетное,

где В_n(р) выражается в форме:

В_n(p) = 1/[(p-p_n)(p-p_n*)] = 1/(p²-2 a_np+b_n). (9.5.4)

25 Виды рекурсивных фильтров

Рекурсивные цифровые фильтры, как и нерекурсивные, не могут обеспечить реализацию идеальной частотной характеристики со скачкообразными переходами от полосы пропускания к полосе подавления. Поэтому на этапе решения аппроксимационной задачи необходимо определить передаточную функцию H() фильтра, которая обеспечивает воспроизведение необходимой амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) с требуемой точностью. Требования к фазочастотной характеристике (ФЧХ) частотных фильтров, как правило, не задаются, т. к. это приводит к резкому усложнению решения задачи. Специальные требования к форме ФЧХ обычно реализуются после расчета фильтров с заданной АЧХ путем контроля полученной при этом ФЧХ и разработкой, при необходимости, дополнительных корректоров ФЧХ.Синтез рекурсивных фильтров, как и НЦФ, выполняется на базе фильтров низких частот (ФНЧ). Другие типы фильтров (ФВЧ - высоких частот и ПФ - полосовые) образуются на основе ФНЧ путем частотного преобразования.В иды рекурсивных фильтров. В настоящее время существует достаточно большое количество видов рекурсивных частотных фильтров и их модификаций. Наиболее известный из них - фильтр Баттеруорта (рис). Он имеет монотонную гладкую АЧХ во всем частотном диапазоне. При том же порядке многочленов фильтров (равном количестве полюсов) большую крутизну обеспечивают фильтры Чебышева – прямой и инверсный, однако при этом в полосе пропускания (для инверсного – в полосе подавления) у фильтров Чебышева появляются равноволновые пульсации (с одинаковой амплитудой пульсаций). Еще более крутые срезы характеристик (при равноволновых пульсациях как в полосах пропускания, так и в полосе подавления) реализуются с использованием эллиптических функций

26.Фильтры сглаживания сигналов. Предположим, что требуется осуществить сглаживание (регуляризацию, аппроксимацию) по методу наименьших квадратов (МНК) равномерного по аргументу массива фильтры мнк 1-го порядка

Расчет коэффициентов фильтра. Простейший способ аппроксимации по МНК произвольной функции s(t) - с помощью полинома первой степени, т.е. функции вида y(t) = A+Bt (метод скользящих средних). Произведем расчет симметричного фильтра МНК на (2N+1) точек с окном от -N до N.Для определения коэффициентов полинома найдем минимум функции остаточных ошибок приближения. С учетом дискретности данных по точкам t_n = nt и принимая t = 1, для симметричного НЦФ с нумерацией отсчетов по n от центра окна фильтра (в системе координат фильтра), функция остаточных ошибок записывается в форме:

(A, B) = [s_n - (A+B·n)]².дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В, и, приравнивая полученные уравнения нулю, формируем 2 нормальных уравнения с двумя неизвестными: (s_n-(A+B·n))  s_n - A 1 - B n = 0, (s_n-(A+B·n))·n  ns_n - A n - B n² = 0.С учетом равенства n = 0, решение данных уравнений относительно А и В:А = s_n , B = ns_n / n². Подставляем значения коэффициентов в уравнение аппроксимирующего полинома, переходим в систему координат по точкам k массива y(k+) = A+B·, где отсчет  производится от точки k массива, против которой находится точка n = 0 фильтра, и получаем в общей форме уравнение фильтра аппроксимации:

y(k+) = s_k-n +  ns_k-n / n².Для сглаживающего НЦФ вычисления производятся непосредственно для точки k в центре окна фильтра (= 0), при этом:

y_k = s_k-n. (3.1.1)Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2) рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t². Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных t=1.Минимум суммы квадратов остаточных ошибок:(A,B,C) = [s_n-(A+B·n+C·n²)]² (2.1.4)Система уравнений после дифференцирования выражения (2.1.4) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:A 1 + B n + С n² = s_n.A n + B n² + С n³ = n·s_n.A n² + B n³ + С n⁴ = n²·s_n.При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем:A = { n⁴ s_n - n² n²s_n} / { 1 n⁴ - [ n²]²}. (2.1.5)При развертывании выражения (2.1.5) для 5-ти точечного НЦФ y_o = (17 s_n - 5 n²s_n) /35 = (-3·s_-2+12·s_-1+17·s_o+12·s₁-3·s₂) /35. (2.1.6)Импульсная реакция: h_n = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.

Передаточная функция фильтра:H(z)= (-3z^-2+12z^-1+17+12z¹-3z²)/35. (2.1.7)

Фильтры МНК 4-го порядка. Расчет по аналогичной методике сглаживающих фильтров МНК 4-ой степени дает следующие результаты:h_0-3 = (131,75,-30,5)/231,h_0-4 = (179,135,30,-55,15)/429,h_0-5 = (143,120,60,-10,-45,18)/429,h_0-6 = (677,600,390,110,-135,-198,110)/2431.На рис. 2.1.12 приведено сопоставление частотных характеристик одноразмерных фильтров МНК 1-го, 2-го и 4-го порядка. . Сглаживающие фильтры МНК В целом, по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следующие выводы:1. Повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте и расширяет полосу пропускания фильтра.2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов. Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра