47.Применение весовых функций.

Если уровень пульсаций передаточной функции, определяемый явлением Гиббса, не удовлетворяет поставленным задачам фильтрации данных, рекомендуется использование сглаживающих весовых функций. С учетом того, что при применении весовых функций происходит расширение переходных зон примерно в два раза, значение ширины переходной зоны будет равным Dp = 2p/N. Отсюда можно определить минимальное число членов усеченного ряда:

Выбор весовых функций целесообразно осуществлять по допустимой величине осцилляций усиления сигнала в полосе подавления, т.е. по относительному значению амплитуды первого выброса на передаточных характеристиках весовых функций. Для выбранной весовой функции производится расчет весовых коэффициентов pn, после чего устанавливаются окончательные значения оператора фильтра:

48. Для описания реакции фильтра на случайный входной сигнал используется статистический подход. Сохранение природы сигнала. Допустим, что фильтр имеет импульсный отклик h(n) = exp(-a·n), n  0. Зададим на входе фильтра стационарный квазидетерминированный случайный сигнал, который не обладает свойством эргодичности, но имеет все свойства случайного сигнала, и может быть описан в явной математической форме: x(k) = A + cos(2k+),где A и  - взаимно независимые случайные величины выходной сигнал: y(k) = A/3 + [3 cos(2k+) + 2 sin(2k+)]/13. Из этого выражения следует, что выходной сигнал фильтра также является случайным и содержит те же самые случайные параметры, что и входной сигнал, а, следовательно, для него существуют определенные статистические характеристики. Математическое ожидание произвольного входного случайного стационарного сигнала x(k) на выходе фильтра определится выражением: = М{y(k)}= M{ h(n) x(k-n)}= M{x(k-n)}h(n) h(n) К_пс Математическое ожидание выходных сигналов фильтра равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на коэффициент усиления фильтром постоянной составляющей. При К_пс = 1 среднее значение выходных сигналов не изменяется и равно среднему значению входных сигналов. Если фильтр не пропускает постоянную составляющую сигналов, то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание. Корреляционные соотношения. Для нецентрированных входных сигналов x(k) размером (0-К) автокорреляционная функция (АКФ), а равно и функция автоковариации K_x(n) (ФАК) для центрированных случайных сигналов, вычисляется по формуле: R_x(n) = [1/(K+1-n)] x(k) x(k+n). Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле: R_s(n) = s_ks_k+n, s_k-n = 0 при k+n > K. Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в правой части под знаками сумм M{x(k-i) x(k+n-j)} = -R_x(k-i-k-n+j) = R_x(n+i-j), получим:R_y(n) = h(i)h(j) R_x(n+i-j)R_x(n) ③ h(n+i) ③ h(n-j) Таким образом, функция автокорреляции выходного сигнала равна АКФ входного сигнала, свернутой дважды. h(n+i) ③ h(n-j) = h(m+i+j) ③ h(m)= h(m) ③ h(m+p) = R_h(m), де R_h(m) - функция корреляции импульсного отклика фильтра.

49. Спектр мощности выходного сигнала. Если на вход фильтра с импульсным откликом h(k)  H(f) поступает случайный стационарный эргодический сигнал x(k)  X_Т(f), имеющий на интервале Т функцию автокорреляции R_x(n) и спектр мощности W_x(f), то на выходе фильтра регистрируется стационарный эргодический сигнал y(k)  Y_T(f) = X_Т(f)H(f). Эергетический спектр выходного сигнала |Y_T(f)|² = |X_T(f)|² |H(f)|² . Оценка спектра мощности W_y(f)  (1/T) |X_Т(f)|² |H(f)|²= W_x(f) |H(f)|². Спектр мощности сигнала на выходе фильтра равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. Средняя мощность выходного сигнала определяется с использованием формулы:W_y = R_y(0) = W_x(f) |H(f)|² df  R_x(0) h²(n) = W_x h²(n). Дисперсия выходного сигнала. Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

_y² = - ²  ( - ²) h²(n). Взаимный спектр мощности входного и выходного сигнала: W_xy(f)  (1/T)X_T(f)Y_T(f) = (1/T)|X_T(f)|² H(f) = W_x(f)H(f).

50. Усиление шумов. Критерием качества при использовании любого метода фильтрации информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Обозначим через (k) аддитивный шум во входном сигнале с математическим ожиданием M{(k)}= 0 и дисперсией ². Значения (k) статистически независимы. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе: y(k) = _n h(n)[x(k-n)+(k-n)]. Математическое ожидание значений выходного сигнала: M{y(k)}= _n h(n)[x(k-n)+M{(k-n)]}= _n h(n) x(k-n). Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала: D{y(k)}= ² _n h²(n). Отсюда следует, что сумма квадратов значений импульсного отклика цифрового фильтра представляет собой коэффициент усиления шумов. Это полностью соответствует прямому использованию выражения при W_x(f) = ²: _y² = ² |H(f)|² df ≡ ² h²(n). Таким образом, коэффициент усиления фильтром дисперсии статистически распределенных шумов при расчете по импульсному отклику: K_q =_n h²(n). По дискретной частотной функции фильтра: K_q = [1/(N+1)] _n H_n². Весовые функции Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала.

Основные весовые функции.

Естественное (П) П(t) = 1, |t|П(t) t

Бартлетта () b(t) = 1-|t|/

Хеннинга, Ганна p(t) = 0.5[1+cos(t/)]

Хемминга p(t) = 0.54+0.46 cos(t/)

Карре (2-е окно) p(t) = b(t) sinc(t/)

Лапласа-Гаусса p(t) = exp[-²(t/)²/2]

Кайзера-Бесселя p(t) =