29.Расчет коэффициентов фильтров.

2.4. Расчет фильтра по частотной характеристике. В качестве примера проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ исходя непосредственно из требуемой формы частотной характеристики. Расчет выполним для фильтра с окном в пять точек: yk = ask-2+bsk-1+csk+bsk+1+ask+2. (2.4.1Полагаем sk = exp(jk), при этом yk = H()exp(jk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jk) и, объединяя комплексно сопряженные члены в правой части, получаем уравнение передаточной функции:H() = 2a cos(2)+2b cos()+ c.Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H() = 0. Отсюда: H(0) = 2a+2b+c = 1, H() = 2a-2b+c = 0. B = 1/4, c = 1/2-2a.При этом функция H() превращается в однопараметровую:H() = 2a(cos(2)-1)+(cos()+1)/2.

По полученному выражению рекомендуется построить семейство кривых в параметрической зависимости от значений 'а' и выбрать фильтр, удовлетворяющий заданию. Пример семейства частотных характеристик приведен на рисунке 2.4.1.

Рис. 2.4.1. Частотные характеристики НЦФ.Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно. Так, например, если к двум граничным условиям задать третье условие сбалансированности: H(=/2) = 0.5, то из трех полученных уравнений сразу же получим все три коэффициента фильтра: a = 0, b = 1/4, c = 1/2 (фильтр сокращается до трех точек).

В принципе, таким методом можно задать любую произвольную форму частотной характеристики симметричного НЦФ с произвольным количеством N точек дискретизации, что определит полное уравнение (2.4.1) с окном 2N+1 точка и соответствующую передаточную функцию фильтра, по которой можно составить и решить N+1 уравнение для определения коэффициентов фильтра.

30. Z-преобразование сигналов и системных функций.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование. Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых – преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов.

Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье. Особенно эффективно оно используется при анализе дискретных систем и, в частности, при проектировании рекурсивных цифровых фильтров

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s_k = s(kt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения s_k:

s_k = s(kt)  TZ[s(kt)] = s_k z^k = S(z).

z-преобразование — это степенной ряд переменной .

Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является именно z-преобразование.

Y(z) a_mz^m = X(z) b_nzⁿ, (

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) = b_nzⁿ (1+ a_mz^m).

Для НЦФ:

H(z) = b_nzⁿ.

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Примеры.

1. Передаточная функция РЦФ: H(z) = (1-z⁵)/(1-z).

Прямым делением числителя на знаменатель получаем: H(z) = 1+z+z²+z³+z⁴.

H(z)  h(n) = {1,1,1,1,1}. Фильтр РЦФ является КИХ-фильтром.

2. Передаточная функция: H(z) = 1/(1-2z).

Методом обратного z-преобразования: h(n) = 2ⁿ. Фильтр РЦФ является БИХ-фильтром.

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.