51Явление Гиббса. Параметры эффекта.

При расчетах фильтров, задается определенная передаточная характеристика H() фильтра и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим даже только по значимым значениям. Усечение может рассматриваться, как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N+1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию:

h_n = h(n)·П_N(n), П_N(n) = 1 при |n|  N, П_N(n) = 0 при |n| > N.

Функция h(n) оператора фильтра, в пределе бесконечная, обуславливает определенную частотную передаточную характеристику фильтра H(). Полному оператору h(n) соответствует исходная частотная характеристика H(): H() = h(n) exp(-jn). (1)

Сущность явления Гиббса. Функции во временном окне селекции П_N(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция. При усечении оператора h(n) и ряда Фурье (3.1.1), до конечного числа членов N будем иметь усеченный ряд Фурье:

H_N() = h(n) exp(-jn), (2)

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда H_N() к исходной передаточной функции H() ухудшается и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах в передаточных функциях:

- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (2);

- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (1).

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса.

Рис. 3.1.2. Явление Гиббса.

Параметры эффекта.

G_N() = [ cos((2n+1)) d] = [ cos((2n+1))] d.

Сумма косинусного ряда равна sin[2(N+1)]/(2sin ). Отсюда:

G_N() = . (3)

Для определения местоположения максимумов и минимумов осцилляций функции (3) приравняем к нулю ее первую производную (подинтегральную функцию), при этом:

_k = k/(2(N+1)), k = 1,2,...

Соответственно, амплитудные значения первых осцилляций функции приходится на точки _k=1 = /(2(N+1)), вторых - на точки _k=2 = /(N+1). Период пульсаций равен 2_k=1=(N+1) = . Функция пульсаций является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции G() на произвольной частоте главного частотного диапазона значения _k являются значениями _k относительно частоты скачка. Амплитудные значения функции в точках ₁ и ₂ практически не зависят от количества членов ряда N и равны: G_N(₁)  0.5+0.09, G_N(₂)  0.5-0.05.

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.

52. Последствия для практики. Нейтрализация явления Гиббса.

При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, т.к. приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В Рассмотрим: H(f) = 1, при -0.2  f  0.2, H(f) = 0, при -0.2 > f > 0.2,

a_n = 4 cos(2fn) df = 2 sin(0.4n)/(n).

Передаточная функция: H(f) = 0.4 + 2 sin(0.4n) cos(2fn)/(n). (1)

Результат усечения ряда Фурье (1) до N = 7 приведен на рис. 1.

Р ис.1. Передаточные функции ФНЧ.

Явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра.

Явление Гиббса имеет место при усечении любых числовых массивов. В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, т.к. они проявляются в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.

Как другой пример, при частотной обработке вырезанного сигнала будет обрабатываться не спектр исходного сигнала, а спектр, которому соответствует сигнал, восстанавливаемый по данному спектру с наложенным явлением Гиббса.

Нейтрализация явления Гиббса в частотной области. При усечении произвольного оператора фильтра h(n) прямоугольным селектирующим окном П_N(n).

H_N() = h(n) exp(-jn), (2) Период осцилляций суммы усеченного ряда Фурье (2) равен периоду последнего сохраненного либо первого отброшенного члена ряда. Осцилляции частотной характеристики могут быть существенно сглажены путем усреднения по длине периода осцилляций в единицах частоты, т.е. при нормированной свертке с П_r( импульсом, длина которого равна периоду осцилляций r = 2/(N+1). Эта свертка отобразится во временной области умножением коэффициентов фильтра h(n) на множители, которые являются коэффициентами преобразования Фурье частотной П-образной сглаживающей функции П_r():

H'_N() = H_N() _* П_r()  h_n_N(n) = h(n)П_N(n)_N(n),

p(n) = П_N(n)_N(n) = sinс(n/(N+1)), |n|  N.

Эта операция носит название сглаживания Ланцоша. Произведение П_N(n)_N(n) ≡ _N(n) представляет собой новое весовое окно селекции p(n) взамен прямоугольного окна. Функцию _N(n) обычно называют временной весовой функцией (окном).

Рис. 2. Весовая функция Ланцоша.