16. Каскадная и параллельная форма

Схемы реализации фильтров. По принципам структурной реализации фильтров различают следующие схемы:

1. Прямая форма реализуется непосредственно по передаточной функции

H(z) = b_nzⁿ /(1+ a_mz^m).

2. Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Передаточную функцию РЦФ можно представить в следующем виде:

v(k) = x(k) - a_mv(k-m), y(k) = b_nv(k-n).

3. Каскадная (последовательная) форма соответствует представлению передаточной функции в виде произведения:

H(z) = H_i(z).

H_i(z) - составляющие функции вида (1-r_iz)/(1-p_iz) при представлении H(z) в факторизованной форме, где r_i и p_i - нули и полюсы функции H(z). В качестве функций H_i(z) обычно используются передаточные функции биквадратных блоков - фильтров второго порядка:

H_i(z) = (b_0i + b_1i z + b_2i z²) / (1 + a_1i z + a_2i z²).

3. Параллельная форма используется много реже, и соответствует представлению передаточной функции в виде суммы биквадратных блоков или более простых функций.

17. Режекторные и селекторные фильтры.

Режекторный фильтр (фильтр-пробка) подавляет определенную частоту во входном сигнале. Он может быть спроектирован непосредственно по z-диаграмме.

РЦФ постоянной составляющей сигнала. Сконструируем простейший РЦФ:

H_п(z) = G(1-z)/(1-az), z_p= 1/a. (1)

Допустим, что полюс помещен в точке z_p1= 1.01, при этом, а=0,99. Масштабный коэффициент G получим нормировкой H(z) к 1 на частоте Найквиста. Для приведенных условий G=0.995. Отсюда, при t=1:

Рис.1

H_п(z) = 0,995(1-z)/(1-0.99z),

y_k = 0.995(x_k-x_k-1)+ 0.99y_k-1.

_п() = _n1-_p1.

РЦФ произвольной частоты. При проектировании на подавление любой другой частоты _v нули и полюсы располагаются на соответствующем радиусе z-плоскости. Радиальный угол направления на нуль и полюс определяются выражением:

_v = ·_v/_N. (2)

Наличие двух знаков в выражении (2) отражает тот факт, что для получения вещественной функции фильтра нули и полюсы должны быть комплексно-сопряженными парами:

H_v(z) = G(z-z_n)(z-z_n*)/[(z-z_p)(z-z_p*)]. (3)

Нули фильтра располагаются на единичной окружности:

z_n = cos _v + j sin _v = Re z_n + j Im z_n. (4)

Полюсы - на полярном радиусе R:

z_p = R·cos _v + j R·sin _v = Re z_p + j Im z_p. (5)

Пример положения нулей (n2 и n2*) и полюсов (р2 и р2*) приведен на рис.1. Подставляя (4-5) в (3), получаем:

H_v(z) = , (6) G = [1+(1+2Re z_p)/R²] / (2+2Re z_n). При приведении уравнения (6) в типовую форму:

H_v(z) = , b₀ = 1, b₁ = -2·Re z_n, b₂ = 1. (8)

a₁ = - (2·Re z_p)/R², a₂ = 1/R².

Соответственно, алгоритм вычислений:

y _k = G·(x_k+b₁·x_k-1+x_k-2) – a₁·y_k-1 – a₂·y_k-2. (9)

рис.2

Пример импульсной реакции для фильтра, вычисленного выше, приведен на рис. 2. Отклик фильтра получен при подаче на вход РЦФ импульса Кронекера. Для наглядности реакции на графике не показан начальный пик отклика (отсчет на нулевой точке), амплитуда которого равна значению G.

Рис. 3

Селекторный фильтр. Если в уравнении (3) опустить нули, то получим селекторный фильтр, выделяющий сигналы одной частоты ω_s – частоты селекции, с передаточной функцией:

H_s(z) = G/[(z-z_p)(z-z_p*)],

H _s(z= ,

При расположении полюсов фильтра за пределами единичного круга значение коэффициента передачи фильтра на произвольной частоте ω на единичной окружности будет обратно пропорционально величине векторов из этих точек окружности на полюса фильтра. При изменении ω от нуля до ±π (движение по единичной окружности на z-плоскости по или против часовой стрелки) один из векторов изменяется в достаточно небольших пределах (<=2), в то время как второй из векторов будут сначала уменьшаться, достигает минимума при расположении ω на полярном радиусе полюса (на частоте селекции ω_s), а затем снова начинает увеличиваться. Соответственно, значение H_s(ω) максимально на частоте селекции ±ω_s и при R → 1 может быть очень высоким. Пример передаточной функции (при G1=1) приведен на рис. 3.