Порядок определения погрешности измерений

Сначала необходимо проделать N измерений величины Х, затем определить среднее значение , затем отклонения от среднего Х_i, затем стандартные отклонения S_X и , потом надо задать некоторую вероятность α и найти коэффициент Стьюдента. После этого находится абсолютная погрешность Х и доверительный интервал. В случае прямых измерений можно записать окончательный результат в виде Х =  Х и указать вероятность α. Всю последовательность действий можно представить в виде схемы: Х_i Х_i  S_X Х.

В случае косвенных измерений надо произвести аналогичные расчёты для всех независимых величин и только после этого вычислить погрешность искомой величины.

Операции вычисления среднего значения и стандартного отклонения являются стандартными функциями инженерного калькулятора. Чтобы воспользоваться ими, необходимо перевести калькулятор в режим статистических вычислений.

Приведем примеры нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Пример 1

Пусть при пяти повторных измерениях длины ℓ бруска были получены значения: ℓ₁ = 50,1 мм; ℓ₂ = 50,3 мм; ℓ₃ = 50,6 мм; ℓ₄ = 50,3 мм; ℓ₅ = 50,2 мм. Найти среднее значение, абсолютную и относительную погрешности и записать результат измерений.

Сначала посчитаем среднее значение:

.

Далее находим отклонения от среднего отдельных измерений:

Вычислим стандартное отклонение результатов единичных измерений:

Стандартное отклонение среднего:

Зададим вероятность 95 % попадания истинного значения ℓ в искомый доверительный интервал. В этом случае коэффициент Стьюдента k_{95 %,5} = 2,77. Абсолютная погрешность:

.

Относительная погрешность:

.

Окончательный результат запишем в виде:

.

Пример 2

При измерении площади поперечного сечения цилиндра массой 1 кг нашли его диаметр: D = 20  0,1 мм.

Каковы абсолютная и относительная погрешности измерений давления, оказываемого цилиндром на поверхность опоры при данной погрешности измерения диаметра?

Давление на поверхность:

относительная погрешность:

,

абсолютная погрешность

.

P_ср  31 кПа, тогда

В итоге

P = 31  0,31 кПа.

Пример 3

Для измерения объема прямоугольной пластины были измерены толщина a = 0,5  0,001 см; длина b = 100  0,1 см; ширина c = 5  0,01 см. Объем бруска

V = abc,

V_ср  а_ср b_ср с_ср = 250 см³,

В итоге V = 250  1,25 см.

3. Обработка результатов измерений

Все измерения дают приближенные значения, поэтому при расчетах не следует стремиться получать результат с большим числом знаков. В ответе следует оставлять столько знаков, сколько их в слагаемом или в сомножителе с наименьшим числом знаков. В промежуточных расчетах необходимо брать значения с одной лишней цифрой, но в окончательном результате эту лишнюю цифру надо отбросить.

При построении графиков следует вначале определить наименьшее и наибольшее значение измеренных величин. После этого надо выбрать наиболее удобный масштаб и нанести его на оси. Если измеренные и рассчитанные значения начинаются не с нуля, то на осях масштаб можно откладывать, начиная не с нуля, а с ближайшего к наименьшему измеренному значению целого числа, которое меньше его.

После выбора масштаба и нанесения его на оси строят точки. Ни в коем случае нельзя соединять точки ломанной или кривой линией. Надо проводить линию графика плавно, так, чтобы число точек по обе стороны от линии было примерно одинаковым. Примерный вид графиков показан на рис. 3.1 и 3.2. Если некоторые точки выпадают из графика, следует про­ве­рить, вызвано ли это случайной ошибкой или является зако­ но­мер­ным. Для этого следует повторить измерения вблизи этих точек.