2.2. Погрешности измерений

При любом измерении физической величины мы всегда получаем приближенное значение измеряемой величины, т. е. допускаем некоторую погрешность, делаем ошибку. Поэтому истинное значение измеряемой величины остается для нас неизвестным. Абсолютно точно измерить какую-либо физическую величину невозможно, так как нет приборов, дающих абсолютно точные значения измеряемых величин, а также из-за несовершенства наших органов чувств и по другим причинам.

Погрешности измерений подразделяют на три вида: систематические, случайные и грубые ошибки.

К систематическим погрешностям относятся погрешности, обусловленные:

1. несовершенством или неисправностью измерительных приборов (например, различием диаметра в разных местах капилляра термометра);

2. ошибочностью самого метода измерений (например, пренебрегают сопротивлением соединительных проводов при измерениях сопротивлений);

3. неправильной установкой измерительных приборов или его частей;

4. индивидуальными погрешностями самого наблюдателя (упущения наблюдателей).

Систематическая погрешность остаётся постоянной при многократных измерениях одной и той же величины; она может быть исключена внесением соответствующей поправки.

Случайные погрешности вызываются неточностью отсчетов; они обусловлены несовершенством наших органов чувств и влиянием других факторов, сопровождающих измерения (вибрации, изменения освещенности, скачки напряжения в электрических цепях). Случайные ошибки при повторении измерений имеют различную величину и разные знаки. Поэтому их легко обнаружить по некоторому разбросу результатов при повторных измерениях. Полностью исключить случайные ошибки невозможно. Однако они могут быть учтены. При многократном измерении одной и той же величины равновероятно получать значения, отклоняющиеся от истинного значения, как в меньшую, так и в большую сторону. Поэтому более близким к истинному значению измеряемой величины является среднее арифметическое из большого числа результатов измерений. Грубые ошибки или промахи – явно ошибочные измерения, которые выпадают из общего ряда полученных данных и при расчетах не учитываются.

2.3. Абсолютная и относительная погрешности прямых измерений

Результат измерения величины Х должен быть представлен в виде: Х =  Х, где означает среднее значение измеряемой величины, а Х – абсолютную погрешность измеряемой величины. Выражение  Х указывает доверительный интервал [ – Х, + Х], в который попадает истинное значение μ измеряемой величины Х. Кроме того, необходимо задать вероятность α попадания истинного значения μ в указанный доверительный интервал. Среднее значение определяется по формуле:

= ,                             (2.3)

где X_i – значения, полученные в результате отдельных измерений, N – число измерений. Среднее значение , определённое по выборке X₁, X₂, …, X_N даёт лишь оценку истинного среднего значения μ измеряемой величины.

В общую погрешность измерений вносят вклад систематические и случайные погрешности. Если обозначить систематическую погрешность измерения буквой δ, а случайную погрешность – d, то общая погрешность Х определится по формуле:

. (2.4)

Существует несколько способов определения систематической погрешности:

1) правило половины деления. Если на измерительном приборе не указана погрешность его измерений, то в качестве таковой надо взять половину деления шкалы прибора;

2) определение погрешности по классу точности прибора. На многих приборах обозначен их класс точности, он показывает долю от максимального значения шкалы прибора, выраженную в процентах, которую нужно взять для того чтобы получить значение систематической погрешности;

3) на некоторых приборах систематическая погрешность указана непосредственно.

Допустим, что основной вклад в погрешность измерений даёт случайная погрешность, тогда с помощью методов математической статистики можно уменьшить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины. Для этого нужно провести некоторое количество повторных измерений и рассчитать доверительный интервал по нижеприведённым формулам. Чем больше будет сделано повторных измерений, тем меньше окажется абсолютная погрешность и соответствующий ей доверительный интервал.

Прежде всего, определим дисперсию выборки измеряемой величины Х с помощью формулы:

, (2.5)

где Х_i – отклонения от среднего результатов единичных измерений Х_i = Х_i – .

Стандартным отклонением (или среднеквадратичной погрешностью) S_X отдельного измерения величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (2.6)

Оценка стандартного отклонения среднего значения величины Х (от истинного значения μ) даётся формулой:

. (2.7)

Эта формула показывает, что выборочное стандартное отклонение среднего значения величины Х уменьшается с увеличением числа измерений. Важно уловить разницу между и S_X.

Погрешность измерения величины Х определяется согласно формуле:

Х = k_α,N . (2.8)

В этой формуле величина k_α,N называется коэффициентом Стьюдента. Его значение зависит от числа измерений и вероятности попадания истинного значения μ величины Х в доверительный интервал  Х. По умолчанию значение вероятности α принимается равным 95 %. Значения коэффициентов Стьюдента в зависимости от вероятности α и числа повторных измерений N приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1