Змістовий модуль 5. Криві другого порядку. Загальна теорія кривих другого порядку.

Лекція № 12. Еліпс, гіпербола, парабола, їх канонічні рівняння і властивості.

1. Означення та канонічне рівняння еліпса

Означення12.1.1. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою і більшою відстані між фокусами.

Я кщо і є фокусами еліпса , то відстань між ними називається фокусною відстанню.

Якщо М – точка еліпса , то відстані

називаються фокальними радіусами точки М.

Згідно з означенням еліпса:

Мал. 12.1.1.

Причому .

Вивчимо еліпс методом координат. З цією метою виберемо прямокутну Декартові систему координат так, щоб фокуси містились на осі і були симетричними відносно початку координат (див. мал. 12.1.1.). Тоді Якщо - довільна точка еліпса, то що в координатній формі записується:

,

Поклавши отримаємо:

Поділивши обидві частини рівності на (оскільки то ), отримаємо:

(1)

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпса.

Задача 1 Вершина трикутника, що має нерухому основу, переміщується так, що периметр трикутника зберігає постійну величину. Знайти траєкторію вершини трикутника, при умові, що основа має довжину 24см, а периметр дорівнює 50см.

Розв’язання. Нехай А і В – нерухомі, а М – рухома вершини трикутника. За умовою і

звідки .

Отже, траєкторію точки М є геометричне місце точок, сума відстаней яких від точок А і В є величина стала і більша відстані між цими точками (26>24), тобто є еліпсом з довжиною великої осі фокусною відстанню і довжиною малої осі

Задача 2. Еліпс проходить через точки і Скласти рівняння еліпса, якщо відомо, що його осі лежать на осях координат.

Розв’язання. Оскільки осі еліпса лежать на осях координат, то його рівняння має вигляд:

Покладемо і розв’яжемо систему рівнянь:

Отже, і канонічне рівняння еліпса має вигляд:

Відповідь:

Задача 3. Дано рівняння еліпса Обчислити довжини його осей, координати фокусів.

Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса поділивши обидві його частини на 4225;

В отриманому канонічному рівнянні бачимо, що - велика піввісь, а - мала піввісь еліпса. Із основного співвідношення параметрами еліпса отримуємо

Отже, фокуси і мають координати (12;0) і (-12;0).

Відповідь: 2а=26 – довжина великої осі;

2b=10 – довжина малої осі;

Механічний спосіб побудови еліпса

Означення еліпса дозволяє вказати простий спосіб його побудови. Зафіксуємо дві точки , і , — фокуси еліпса. Закріпимо в цих точках нитку довжиною 2а більшою, ніж відстань між ними. Якщо відтягнути нитку олівцем, і рухати його, тримаючи весь час нитку натягнутою, то можна накреслити еліпс з даними фокусами , і F₂ та довжиною великої осі 2а.

Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним

Використовуючи канонічне рівняння еліпса (12.1.1), вивчимо мої о найпростіші властивості.

Властивість 1. Еліпс є алгебраїчною лінією 2-пі порядку.

Властивість 2. Еліпс є обмеженою фігурою.

З канонічного рівняння еліпса маємо

Звідки бачимо, що еліпс належить прямокутнику з вершинами M_t(a;b),

Властивість 3. Еліпс мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

Очевидно, що коли точка належить еліпсу у, то й М'(х,-у) , тобто еліпс у симетричний відносно осі Ох. Аналогічно, якщо

то й

тобто еліпс у симетричний відносно осі Оу.

Властивість 4. Еліпс — центрально-симетрична фігура.

Оскільки

М(х.у) є у => М'(-х,-у) ,

то еліпс, заданий рівнянням (12.1.1), симетричний відносно початку координат.

Зауваження. Властивість 4 є наслідком властивості 3, оскільки фігура, що мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, є симетричною відносно точки їх перетину.

Вершинами еліпса називаються точки перетину еліпса з його осями симетрії.

Властивість 5. Вершинами еліпса (12.1.1) Є точки , , В,(0;Ь), В₂(0-Ь) (див. мал. 12.1.1).

Число 2а є довжиною відрізка (великої осі еліпса), число довжиною відрізка В_{В₂ (малої осі еліпса).

Властивість 6. Еліпс є неперервною замкненою кривою.

Канонічне рівняння еліпса можна переписати у вигляді:

Звідки бачимо, що малим приростам х відповідають малі прирости у.

В першій чверті еліпс є неперервною лінією, що з'єднує точки і . Оскільки він симетричний відносно осей Ох та Оу, то частинка еліпса, що міститься в четвертій чверті, конгруентна частинці в першій чверті і з'єднує точки і. Аналогічно отримуємо, що еліпс складається з чотирьох конгруентних частинок, які з'єднують точки і , і , В₂ і А₂, і відповідно.

Задача 1. На еліпсі знайти точки, розміщені на

відстані 5 одиниць від його малої осі.

Розв'язання. Даний еліпс заданий канонічним рівнянням, а отже, симетричний відносно обох координатних осей. Оскільки 24<30, то велика вісь і фокуси даного еліпса знаходяться на осі Оу, а мала вісь на осі Ох.

Якщо М(х;у) — шукана точка, то

тобто

Знайдемо

Відповідь: (2;5), (-2;5), (-2;-5), (2;-5).

Задача 2. Вказати осі симетрії еліпса х²+3у²+ 4х-18 + 4 =0.

Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса:

Заміна х+2 на , у-3 на у', яка рівносильна перетворенню координат перенесенням початку в точку ;

Приводить до рівняння:

В новій системі координат еліпс симетричний відносно координатних осей, які в старій системі координат задаються рівняннями:

х = -2, у=3.

Відповідь: х=-2, у = 3 – осі симетрії даного еліпса.

Зауваження. Якщо центр еліпса знаходиться в точці С(.x₀; y₀), а велика і мала осі паралельні осям координат, то його рівняння в прямокутній декартовій системі координат має вид:

(12.3.1)

Ексцентриситет еліпса. Вираз фокальних радіусів точки еліпса

Ексцентриситетом еліпса називається число , яке дорівнює відношенню фокусної відстані до довжини великої осі еліпса:

Оскільки 2с < 2а, то ексцентриситет еліпса задовольняє нерівності

причому 0, коли 2с = 0, тобто коли і еліпс є колом.

Ексцентриситет еліпса є характеристикою форми кривої. Справді,

,

Якщо а – фіксоване, а , то , і навпаки, якщо , то .

Отже, чим менший ексцентриситет еліпса, тим більше еліпс «схожий» на коло (відношення осей ближче до 1). І навпаки, чим більший ексцентриситет, тим еліпс «витягнуті ший» (менше відношення осей).

Задача 1. Меридіан земної кулі має форму еліпса, відношення

осей якого дорівнює . Визначити ексцентриситет земного меридіана.

Розв’язання:

.

Відповідь:

Лема 1. Фокальні радіуси і точки еліпса з ексцентриситетом виражаються наступним чином:

( 12.4.2)

Доведення. Згідно з означенням еліпса

Виразимо різницю:

.

Розглянемо систему рівнянь:

Звідки

і

Що й вимагалось довести.

Задача 2. На еліпсі знайти точку, відстань якої від правого фокуса в чотири рази більше відстані від лівого фокуса.

Розв'язання. Оскільки за умовою а=10, b=6, то ексцентриситет

Нехай М(х,у) — шукана точка — її фокальні радіуси. За умовою Використовуючи вирази фокальних радіусів (12.4.2), маємо:

Звідки . А отже,

Відповідь: