Змістовий модуль 6. Поверхні другого порядку. Загальна теорія поверхонь другого порядку. Геометричні перетворення простору.

Лекція № 14. Поверхні обертання. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди обертання та їх властивості.

Загальне рівняння поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається поверхня, яка в деякій системі координат задається рівнянням

F(х;у,z)=0, (1)

де F(х; у; z) - многочлен другого степеня. Загальне рівняння поверхні другого порядку записується у вигляді

(2)

д е а₁₁, а₂₂, а₃₃,..., а₄₄ - деякі дійсні числа, і а₁₁ + а₂₂ + а₃₃ + а₁₂ + а₁₃ + а₂₃ ≠ О (тобто всі коефіцієнти при членах другого степеня одночасно не дорівнюють нулю). При цьому покладатимемо: а_ij = а_ji, і, j = 1…4 .

Якщо перейти до іншої системи координат, то і рівняння поверхні зміниться, але воно не може змінитися настільки, щоб всі коефіцієнти при квадратах і добутках змінних стали нульовими, бо тоді отримаємо рівняння площини, яка в довільній системі координат задається лінійним рівнянням. Справедлива така теорема. Рис. 1

Теорема 1. Перетином поверхні другого порядку з довільною площиною є лінія другого порядку або пряма.

Доведення. Нехай поверхня σ перетинається деякою площиною α і в перетині утворюється крива γ (рис. 1). Виберемо прямокутну систему координат так, щоб площина ОХY збігалася з площиною α. Тоді рівняння площини α:

Z = 0. (3)

Припустимо, що поверхня σ в цій системі координат задається рівнянням (2), тоді лінія перетину у поверхні з площиною задаватиметься системою рівнянь (2), (3), яку можна записати так:

А це є рівняння лінії другого порядку в площині ОХY.

У випадку, коли a₁₁ = а₂₂ = а₁₂ = 0 це буде пряма.

Отже, лінія γ є лінією другого порядку або прямою, що й треба було довести.

Приклад, Визначити лінію перетину поверхні другого порядку

х² + 2у² + z² - 2ху – 4yz - 2х + у + 4z + 1 = О

з площиною ОХZ. Система координат прямокутна декартова.

Розв'язання. Шукана лінія перетину задається системою рівнянь

або

Визначимо, який вигляд має лінія, задана на площині ОХZ рівнянням

x² + z² - 2х + 4z + 1 = 0.

Виділяючи повні квадрати по кожній змінній, дістанемо

(х² - 2х + 1) -1 + ( z²+ 4z + 4) - 4 + 1 = 0;

Отже, дана лінія є коло з центром у точці (1 ; -2) і радіусом R = 2.

. Сферою називається множина точок простору, рівновіддалених від однієї точки, що називається центром сфери, на задану відстань(радіус сфери). Рівняння сфери:

(х-а)²+(у-b)²+(z-c)²=R²,

або

x²+y²+z²-2ax-2by-2cz +a²+b²+c²-R²=0

Рівняння сфери містить чотири незалежні параметри: координати центру і радіус. Рівняння це - другого ступеня, тому сфера - поверхня другого порядку.

Якщо перенести початок координат в центр сфери, то рівняння її прийме простіший вигляд:

х² + у² +z² = R²

З будь-якою прямою лінією сфера має дві спільні точки (дійсні або уявні); якщо обидві точки перетину зливаються, то пряма дотикається до сфери, і тоді відстань її від центру сфери рівна радіусу.

З будь-якою площиною сферична поверхня перетинається по колу (дійсному або уявному). Якщо площина знаходиться від центру на відстані, рівної радіусу, то лінія перетину перетворюється в круг нульового радіусу (одна дійсна точка); площина дотикається сфери, в ній лежать всі прямі, що дотикаються до сфери в даній точці.

Площина, дотична до сфери, в точці (x₁,y₁,z₁) має рівняння_:

(x₁-a)(x₂-a) + (y₁-b)(y₂-b) + (z₁-c)(z₂ -c) = R².

Якщо сфера віднесена до центру, то дотична площина зображається рівнянням:

xx_l + yy₁+ zz₁ = R².