Раздел 8

Продолжение вопроса: классификация математических моделей

Наиболее важным типом математических моделей в исследовании операций являются оптимизационные математические модели.

В основе их построения лежат допущения о том, что все релевантные переменные, параметры и ограничения, а также целевая функция количест­- венно измеримы. Поэтому если , представляют собой «n» управ-­ ляемых переменных и условия функционирования исследуемой системы характеризуются «m» ограничениями, то математическая модель может быть записана в следующем виде: при заданных тем или иным способом

Найти extr

При

ограничения ;

Ограничения х1, х2,..., хп > О называются условиями неотрицатель­ности. Эти условия требуют, чтобы переменные принимали только поло­жительные или нулевые значения. В большинстве практических случаев такое требование вполне

естественно.

Нахождение оптимума осуществля­ется для определения наилучшего значения целевой функции, например, максимума прибыли или минимума затрат.

Для построения оптимизационной математической модели необходимо иметь строгое представление 1) о цели функционирования исследуемой системы и распола­гать информацией 2) об ограничениях, которые определяют область допусти­мых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляюще­го воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Процесс оптимизации с использованием модели можно рассматри­вать как метод отыскания оптимального решения для реальной системы без непосредственного экспериментирования с самой системой. Как показано на рисунке 2 «прямой» путь, ведущий к оптимальному решению, заменяется об­ходным, включающим построение и оптимизацию модели, а также преобра­зование полученных результатов в практически реализуемую форму. Оче­видно, что такой подход к оптимизации системы обязательно требует ис­пользования некоторого упрощенного представления реальной системы. При формировании такого приближенного представления или приближенной математиче­ской модели следует учитывать только важнейшие характеристики сис­темы, которые должны быть отражены в модели, а менее существенные особенности в модель можно не включать. (Не пренебрегаем напоминанием уже известных приёмов моделирования СТС). Необходимо также сформули­ровать логически обоснованные допущения, выбрать форму представления математической модели, уровень ее детализации и метод реализации на ЭВМ. Указанные соображения относятся к этапу построения модели и яв­ляются в той или иной мере произвольными.

Рис. 2

Специалисты, обладающие одинаковым уровнем подготовки, рассматривая одну и ту же реальную систему, могут предложить совершенно различные модели. Однако ни од­ну из таких моделей независимо от степени ее детализации и сложности нельзя считать единственно правильной. Качество модели нельзя оцени­вать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов по­ведения реальной системы. Модель, включающую нелинейные функции, можно считать предпочтительнее линейной модели лишь при условии, что нелинейная модель точно описывает реальную систему.

В то же время адекватность модели часто невозможно строго оценить и поэтому выбор той или иной модели в значительной степени субъекти­вен. Поэтому очень важно, чтобы создатель модели детально знал моде­лирующую систему, понимая технические принципы, лежащие в основе компонентов модели.

Обычно самым дорогим этапом оптимизационного исследования является работа по созданию модели, так как она требует привлечения компетентных специалистов, хорошо знающих изучаемую систему. По­скольку стоимость создания моделей резко растет по мере детализации мо­дели, необходимо тщательно продумывать уровень детализации, чтобы он соответствовал целям исследования и отвечал качеству доступной ин­формации о системе. Бесполезно разрабатывать сложную модель, если доступная информация, по которой определяются коэффициенты модели, разрозненна и ненадежна. С другой стороны, поскольку оптимизируется именно модель, а не реальная система, бессмысленно проводить оптимиза­ционное исследование с упрощенной моделью, которая дает неправильное значение истинного оптимума системы.

При разработке модели стремятся к тому, что иногда называют прин­ципом оптимальной неточности: модель должна быть настолько детали­зирована, насколько это необходимо для целей исследования. Однако дос­тичь этой цели всегда трудно. Существует единственно надежный способ создания модели с оптимальным уровнем неточности, а именно метод по­степенного совершенствования модели и методов оптимизации. Начав с самой простой модели, ее последовательно доводят до такого уровня, ко­гда точность полученного значения оптимума соответствует точности ис­пользуемой в моделях информации. Однако этот трудоемкий процесс ино­гда требует больших затрат времени, чем это возможно в реальных услови­ях.