Вопрос 3. Математические модели оптимизации

Описание и построение математической модели реальной СТС - важнейший этап оптимизационного исследования, так как он определяет практическую ценность получаемого решения и его возможность реализации. В оптимизационных исследованиях СТС обычно используют математиче­ские модели трех основных типов:

1. Аналитические модели;

2. Модели поверхности отклика;

3. Имитационные математические модели ( не путать с имита­ционными моделями).

Аналитическая модель включает уравнения материального энерге­тического баланса в СТС, отношения между проектными техническими ха­рактеристиками и уравнения, описывающие физические свойства; они об­разуют систему уравнений и неравенств. Для того чтобы, иметь возмож­ность применять математические методы оптимизации, функции в уравне­ниях должны принимать вещественные значения, которые можно вычис­лить для выбранных значений независимых переменных. В случае дина­мической математической модели уравнения содержат интегральные или дифференциальные операторы. В случае же статической матема­тической модели в модели содержатся только алгебраические функции.

В модели поверхности отклика вся система или входящие в нее части состоят из аппроксимирующих уравнений выбранного вида, коэффи­циенты которых определяются на основе прямо или косвенно полученной информации о работе системы. К типичным аппроксимирующим уравне­ниям относятся линейные уравнения связи и уравнения с квадратичными функциями. Модели такого типа используются обычно в тех случаях, когда отклик системы непредсказуем или слишком сложен, что делает невозмож­ным создание детализированной модели, исходя из технических принци­пов. Поскольку переменные взаимозависимы, модели поверхности отклика обычно надежны только в ограниченной области значений переменных системы.

Аналитические модели описывают поведение системы на уровне ос­новных технических принципов, поэтому они обычно достоверны для бо­лее широких условий работы системы, чем модели поверхности отклика. Однако преимуществом последних является упрощенная структура.

В моделях третьего типа, называемых имитационными математи­ческими моделями, основные уравнения, описывающие поведение систе­мы, группируются в отдельные модули или подпрограммы. Они описывают функционирование отдельных частей системы или реакцию системы на изменение ее состояния.

Каждый из этих модулей или подпрограмм независим от других, и содержит внутренние вычислительные процедуры, та­кие, как решение уравнений, интегрирование или процедуры логического разветвления.

Имитационные математические модели обычно используют­ся в тех случаях, когда трудно решать уравнения с неявно заданными пере­менными, когда от состояния системы зависит выбор алгоритма вычисли­тельной процедуры или соответствующих уравнений, когда в модель при­ходится вводить случайные возмущения, что требует использования метода Монте-Карло для получения выборки.

Модели этого типа обычно сложнее моделей двух описанных выше типов и, как правило, при их использова­нии нужны значительно большие вычислительные мощности.

В большинстве случаев выбор типа модели определяется характером (качеством) информации о системе, степенью понимания того, что проис­ходит с системой и зависит от сложности самой системы.

При выборе предпочтение отдается аналитическим моделям, так как в этом

случае можно использовать обычные известные методы математи­ческого программирования.

Вообще имитационные математические модели достаточно сложны и для решения требуют больших затрат машинного времени. Вследствие этого они используются при решении оптимизационных задач с небольшим числом независимых переменных.

Модели поверхности отклика чаще всего используются совместно со сложными имитационными математическими моделями, чтобы избежать непосредственной оптимизации на оптимизационных моделях.

При решении большей части технических прикладных задач, как правило, используются разработанные самими исследователями аналити­ческие модели или специальные имитационные математические модели,

Построение математических моделей - это центральный этап исследования любой СТС. От качества модели зави­сит судьба последующего анализа.

Построение моделей - всегда процедура неформальная, и, конечно, оно очень сильно зависит от исследователя, его опыта, таланта, всегда опи-­ рается на определенный опытный материал, в связи с чем мы говорим, что процесс моделирования имеет феноменологическую основу. Математическая модель должна достаточно правильно отражать яв-

ления, однако одного этого еще мало. Она должна быть удобной для ис­пользования. Поэтому степень детализации модели, форма ее представле­ния определяются целями исследования и непосредственно зависят от ис­следователя.

Для того, чтобы использовать математические результаты и числен­ные методы для решения конкретных инженерных задач, необходимо 1) уста­новить границы подлежащей оптимизации инженерной системы, 2) опреде­лить критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», 3) осуществить выбор внутрисистемных пе­ременных, которые используются для определения характеристик и иден­тификации вариантов, наконец, 4) построить модель, отражающую взаимо­связь между переменными.

Первым шагом на пути построения математической модели является определение границ изучаемой системы. В данном контексте система пред­стает как некоторая изолированная часть реального мира. Границы систе­мы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и слу­жат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней сре­дой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы является слишком жестким. Для более полного анализа системы может возникнуть необходимость расширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирование исследуемой системы или на выбор рационального ва­рианта системы. Разумеется, расширение границ системы повышает раз­мерность и сложность модели и затрудняет анализ системы.

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на втором этапе необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы, с тем, чтобы выявить «наилучший» вариант.

На третьем шаге осуществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать функционирование системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств.

Во - первых, необходимо провести различие между переменными,

значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами. В этой связи следует провести различие между теми параметрами системы, которые могут предполагаться постоянными, и параметра­ми, которые подвержены флуктуациям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов.

Во-вторых, следует учитывать все основные переменные, которые влияют на функционирование системы или на выбор лучшего варианта. Наконец, еще одним существенным фактором, влияющим на выбор пере­менных, является уровень детализации при исследовании системы.

Очень важно ввести в рассмотрение все основные независимые пе­ременные, но не менее важно не «перегружать» задачу большим количеством несущественных деталей.

При выборе независимых переменных целесообразно руководство­ваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те пе­ременные, которые оказывают существенное влияние на показатель каче­ства, выбранный для анализа СТС.

На четвёртом этапе, после того, как установлены границы системы, выбран критерий и определены независимые переменные, необходимо построить математическую модель, которая описывает взаимосвязи между переменными и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой кри­терием.

В самом общем представлении структура математической модели включает: 1) основные уравнения материальных и энергетических балансов;

2. соотношения, связанные с проектными решениями;

3) уравнения, описывающие, физические процессы, протекающие в системе.

Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые опреде­ляют область допустимых значений независимых переменных, позволяют учесть требования, накладываемые на верхние или нижние границы изме­нения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов.

Процесс составления математической модели является весьма трудо­емким и требует четкого понимания специфических особенностей рассмат­риваемой системы. В то же время этот процесс независимо от типа системы можно с некоторой степенью точности разделить на ряд основных эта­пов.

Содержанием первого этапа является формализованное описание системы (или составление логической модели). Формализованное описа­ние представляет смысловое выражение физической природы моделируе­мой системы. Оно определяет состав и взаимосвязь между элементарными подпроцессами или группами уравнений, отражающими наиболее сущест­венные соотношения, необходимые для достаточно надежного количест­венного определения показателя качества системы. Изучение таких под­процессов и связей между ними дает возможность составить математическое описание модели.

Математическое описание является вторым этапом формирования модели и объединяется в единую систему уравнений и неравенств - матема­тическую модель системы. Следует заметить, что в состав математической модели, помимо блоков уравнений подпроцессов, входят зависимости, от­ражающие общие физические законы, например, закон сохранения массы и энергии и другие. Кроме того, в состав математического описания, помимо целевой функции, включают различные ограничения на управляющие па­раметры, а также зависимости между ними.

Третий этап сводится к разработке моделирующих задачу алгорит­мов. Под алгоритмом понимается строго определенная последовательность расчетов, проводимых на основе выбранного метода. После того, как моде­лирующий алгоритм сформирован, на одном из алгоритмических языков составляется программа решения задачи на ЭВМ.

На четвертом этапе осуществляется апробирование модели. С этой целью для определенной совокупности входных (исходная информация) и управляющих параметров находят значения целевой функции.

Решая такую задачу, обращают внимание на физическую реализуе­мость целевой функции. При испытании модели отслеживают значения це­левой функции в области экстремума по отдельным параметрам управле­ния. Во время апробирования модели устраняют возможные ошибки, уп­рощают и уточняют математическое описание, сокращают число управ­ляющих параметров.

Таким образом, все три стороны математической модели: смысловая, представленная формализованным описанием; аналитическая, выраженная математическим описанием; вычислительная, рассматриваемая при по­строении моделирующего алгоритма, находятся в единой взаимосвязи.