2.2. Погрешности аналогового моделирования

2.2.1. Особенности аналоговой вычислительной техники

В аналоговых вычислительных машинах (АВМ) каждая переменная величина из решаемой системы дифференциальных уравнений представляется (моделируется) напряжением на соотвтствующем блоке [2.7]. Каждый блок –это решающее устройство, выполняющее свою математическую операцию одновременно с другими блоками, то-есть параллельно во времени. Основой решающего блока является операционный усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления и глубокой отрицательной обратной связью. Основными решающими блоками являются сумматор и интегратор. Отрицательная обратная связь сумматора осуществляется через активное сопротивление, интегратора – через конденсатор. Стабильность коэффициентов передачи решающих блоков, а вместе с тем и точность выполнения математических операций, зависит от качества используемых сопротивлений и конденсаторов, и не может быть высокой. Изучение влияния погрешностей выполнения операций суммирования и интегрирования на точность решения дифференциальных уравнений рассмотрим на примере уравнения n – ного порядка:

xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 +…+ a₁x^ + a₀x = f(t) (2.2.1)

2.2.2. Взаимосвязь приращений корней и коэффициентов характеристического уравнения

Динамические свойства системы, описываемой уравнением (1), в большой степени определяются корнями характеристического уравнения:

P(p,a_k) = pⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +…+ a₁p + a₀ = 0 (2.2.2)

При решении уравнения (1) на аналоговой модели погрешности коэффициентов передачи решающих блоков формируют погрешности выставки коэффициентов уравнения (1), а вместе с тем и погрешности в коэффициентах характеристического уравнения (2). Это, в свою очередь, приводит к изменению корней характеристического уравнения, то – есть к изменению динамических свойств моделируемой системы. Для выяснения влияния погрешности выставки параметров аналоговой модели на изменение динамических свойств найдем зависимость малых приращений корней от малых приращений коэффициентов [2.8]. При известных корнях, характеристическое уравнение (2) можно представить ввиде произведения:

P(p,p_j) = (p-p₁)(p-p₂)…(p-p_n) = 0 (2.2.3)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p в (2) и (3), получим формулы Виета, выражающие коэффициенты характеристического уравнения через его корни :

a_n-1 = -(p₁+p₂…+p_n)

a_n-2 = (p₁p₂+p₁p₃+…p_n-1p_n) (2.2.4)

……………………………

a₀ = (-1)ⁿp₁p₂…p_n

Обратных прямых выражений корней через коэффициенты в общем случае не существует, однако для малых приращений они могут быть получены. Для этого возьмем полные дифференциалы по параметрам a_k и p_j от выражений (2) и (3) соответственно:

dP(p,a_k) = = =

= da₀+pda₁+…+p^n-1 da_n-1 (2.2.5)

dP(p,p_j) = = - (2.2.6)

Для обеспечения равенства полиномов (5) и (6) при любых p

dP(p,a_k) = dP(p,p_j) (2.2.7)

необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при n различных значений p. В качестве этих значений удобно выбрать p = p_k , k = 1…n. Подставив эти значения в выражение (7) с учетом (5) и (6) получим :

dp_k= - (da₀+da₁ p_k+…+p_k^n-1 da_n-1 )/(p_k-p₁)_…

(p_k-p_k-1)(p_k-p_k+1)…(p_k-p_n), k =1,2,…n. (2.2.8)

Таким образом, по формулам Виета (4) можно выразить коэффициенты характеристического уравнения через его корни, а с помощью соотношений (8) - приращения корней через приращения коэффициентов. Последнее позволяет проверить пригодность АВМ для решения определенной задачи.