2.3. Погрешности полунатурного моделирования

П ри полунатурном моделировании система управления замыкается через преобразующее устройство ,как показано на рис .2.3, где обозначено: W_o(p) – передаточная функция разомкнутой системы управления (вместе с объектом управления), W_p(p) – передаточная функция преобразующего устройства [Л5.1].?

Пусть

W_o(p) = B(p)/A(p), W_p(p) = (1+G(p))/(1+Q(p))

B(p) = , A(p) = , a_n = 1 (2.3.1)

G(p) = , Q(p) = ,

При идеальном преобразующем устройстве , когда W_p(p) = 1, передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

W_I(p) = B(p)/[A(p) + B(p)] ,

а характеристическое уравнение

R_I(p) = A(p) +B(p) =0 . (2.3.2)

Корни характеристического уравнения (23) будем считать известными и обозначим

p_I1 , p_I2 , …p_In (2.3.3)

Характеристическое уравнение передаточной функции преобразующего устройства, и его корни, в соответствии с (22), запишем:

R_p(p) = 1 + Q(p) = 0 ,

p_p1 , p_p2…p_pr (2.3.4)

Коэффициенты полинома Q(p) будем считать малыми, так, что модули корней (25) много больше модулей корней (24).В пределе, при Q(p) => 0,

lim_Q=>0 [p_Ij] =

Передаточная функция замкнутой системы (см.рис. 2.3.) с учетом преобразующего устройства и ее характеристическое уравнение имеют вид:

W(p) = B(p)(1 + Q(p))/[A(p)(1+Q(p))+B(p)(1+G(p))]

R(p) = [A(p)(1+Q(p))+B(p)(1+G(p))] = 0 (2.3.5)

Характеристическое уравнение (5) имеет n + r корней:

p₁ , p₂ …p_n ,p_n+1 …p_n+r

Представляется очевидным, что при Q(p) 0 и G(p) 0 первые n корней уравнения (5) стремятся к корням уравнения (2), а последние r корней стремятся в бесконечность по отрицательной полуоси, как и корни уравнения (4).

Это позволяет предположить, что характеристический полином R(p) (5) при малых Q(p) и G(p) незначительно отличается от произведения:

R1(p) = R_I(p)R_p(p) (2.3.6)

Введем мало измененные полиномы R, входящие в (6):

R_I(p) = R_I(p) + d R_I(p), R_p(p) = R_p(p) + d R_p(p), (2.3.7)

R1(p) = R_I(p)R_p(p), dR_I(p) = dA(p) + dB(p), dR_p(p) = dQ(p)

Здесь

dA(p) = , dB(p) = ,

dQ(p) = . (2.3.8)

Величины da_k …dq_k являются малыми приращениями соответствующих коэффициентов.

Приравняем теперь характеристический полином (5) измененному полиному (6):

R(p) = R_I(p) , (2.3.9)

Подставив сюда выражения (7) для приращений полиномов, сокращая одинаковые слагаемые и пренебрегая произведениями малых приращений, получим:

dA +dB + QdB + AdQ +BdQ = - B(Q – G) (2.3.10)

Левая и правая части этого уравнения являются полиномами по p с наибольшей степенью p^n+r . Для выполнения равенства (10) при любых p нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях p в левой и правой частях уравнения, что даст n+r соотношений между приращениями da_k , db_k , dq_k . Количество этих приращений, в соответствии с выражениями (8), равно n+r+m+1. Следовательно, для выполнения равенства (10) можно задать произвольно m+1 приращение, что позволяет принять

dB = 0. Тогда соотношение (10) приобретет следующий вид:

(1 + Q)dA + (A + B)dQ = - B(Q – G) (2.3.11)

Система алгебраических уравнений , эквивалентная полиномиальному уравнению (11), - линейная и, в общем случае, неоднородная. Однако, при выполнении условий

Q(p) = G(p) , (2.3.12)

она станет однородной, т.е. будет иметь тривиальное нулевое решение dA(p) = 0, dQ(p) = 0. Этот результат становится очевидным, если вспомнить, что при выполнении условий (12) передаточная функция преобразующего устройства

W_p(p) = 1, что видно из (1).

Другой способ решения уравнения (11) исходит из того, что для обеспечения равенства двух полиномов степени (n+r) достаточно обеспечить их равенство в (n+r) точках по аргументу p. Для p , равных корням (3) уравнения(2), соотношение (11) приобретает вид:

dA(p_Ij)(1 + Q(p_Ij)) = -B(p_Ij)(Q(p_Ij) – G(p_Ij)); j = 1…n (2.3.13)

С учетом обозначений (7), систему уравнений (13) можно записать:

da₀ + da₁p_Ij +…da_n-1p_Ij^n-1 = (2.3.14)

= -{ B(p_Ij)(Q(p_Ij) – G(p_Ij))}/ (1 + Q(p_Ij)); j = 1…n

Решение системы уравнений (14) дает приращения коэффициентов полинома A(p) и , в силу соотношения dB = 0, приращения коэффициентов полинома R_I(p) = 0 (2).

Зная приращения коэффициентов полинома (2), можно вычислить приращения его корней по соотношениям (2.2.8).

Сравнивая (2.2.8) с (14) можно видеть, что в них входят одинаковые комбинации приращений коэффициентов, поэтому не нужно решать (14) относительно da_k , а можно сразу вычислять приращения основных корней системы по формуле

dp_Ij = {B(p_Ij)(Q(p_Ij) – G(p_Ij))}/ (1 + Q(p_Ij))(p_Ij - p_I1)*

*(p_Ij - p_I2)… (p_Ij - p_In) , j = 1…n (2.3.15)

Подставив в (11) корни (4), получим:

dQ(p_pj)[A(p_pj) + B(p_pj)] = -B(p_pj)(Q(p_pj) – G(p_pj));

j = 1…r (2.3.16)

Проведя аналогичные предыдущим рассуждения и выкладки, получим приращения остальных корней:

dp_pj = B(p_pj)(Q(p_pj) – G(p_pj))/ [A(p_pj) + B(p_pj)]*

*(p_pj – p_p1) … (p_Ij - p_In); j = 1…r (2.3.17)

Итак, включение в моделирующий комплекс динамического преобразующего устройства приводит к тому, что характеристическое уравнение модели имеет две группы корней: основные - мало измененные корни уравнений идеальной системы, и дополнительные - мало измененные корни характеристического уравнения преобразующего устройства.

Задавая допустимое смещение основных корней, а также допустимое сближение основной и дополнительной групп, можно предъявить требования к быстродействию преобразующего устройства.