- •Раздел 1. Фильтрация помех при моделировании
- •1.1 Алгоритм разложения сигнала по неортогональному базису
- •1.2. О сходимости разложений
- •1.4 Фильтрующие свойства разложений
- •1.5 Оценка уровня помех в обрабатываемой реализации
- •1.6. Оценка погрешностей разложения
- •1.7. Численная оптимизация по параметрам базиса
- •1.8 Оценка погрешностей разложения методом статистического моделирования
- •Раздел 2. Моделирование непрерывных систем
- •2.1. Цифровое моделирование непрерывных динамических систем
- •2.1.1 Методы цифрового моделирования
- •2.1.2. Численное решение линейных дифференциальных уравнений методом разложения в ряд Тейлора
- •2.1.3. Выражение ошибки численного решения через изменения коэффициентов дифференциального уравнения
- •2.1.4. Выражение ошибки численного решения через изменение корней характеристического уравнения
- •2.1.5. Устойчивость численного решения
- •2.1.6. Повышение точности численного решения методом коррекции уравнений движения
- •2.2. Погрешности аналогового моделирования
- •2.2.1. Особенности аналоговой вычислительной техники
- •2.2.2. Взаимосвязь приращений корней и коэффициентов характеристического уравнения
- •2.2.3. Влияние аналогового интегратора на корни характеристического уравнения
- •2.3. Погрешности полунатурного моделирования
- •Раздел 3 Упражнения
- •Литература
- •Глава 5. Моделирование системы управления при лабораторных испытаниях (1)
2.1.2. Численное решение линейных дифференциальных уравнений методом разложения в ряд Тейлора
Рассмотрим матричное однородное линейное дифференциальное уравнение
(2.1.1)
Одним из методов численного решения дифференциальных уравнений является разложение решения на шаге h в ряд Тейлора [2.4] относительно предыдущего момента времени t
(2.1.2)
Значения входящих в ряд Тейлора производных определим из уравнения (1):
, j = 1…r
Подставив эти значения в (2), получим:
X(t+h) = [I+Ah+A2h2/2…(Ah)r/r! …]X(t) (2.1.3)
М
eAh
= [I+Ah+A2h2/2(Ah)r/r!
…]
(2.1.4)
Таким образом, точное решение уравнения (1) на шаге можно представить в виде:
X(t+h) = eAhX(t) (2.1.5)
При численном решении ряды в соотношениях (2), (3) и (4) усекаются. Порядком r метода численного решения называется максимальная степень шага h , оставляемая в разложении. Представим матричный экспоненциальный ряд в виде суммы:
eAh = eAh + deAh , eAh = I+Ah+A2h2…(Ah)r/r! ,
(2.1.6)
deAh = (Ah)r+1/(r+1)! +…
где eAh - усеченная экспонента, deAh - отбрасываемая часть экспоненциального ряда (4).
Результат X(t+h) приближенного численного решения уравнения (1) на шаге h методом r -го порядка можно представить в следующем виде:
X(t+h) = [I+Ah+A2h2…(Ah)r/r!]X(t) = eAhX(t) (2.1.7)
Умножая матрицы (6) справа на X(t) с учетом (7), получим
X(t+h) = eAhX(t) = eAhX(t) + deAhX(t) = X(t+h) + dX(t+h) ,
(2.1.8)
где ошибка численного решения на шаге h или локальная ошибка метода
r -того порядка равна:
dX(t+h) = deAhX(t) = [(Ah)r+1/(r+1)! +…]X(t) (2.1.9)
Для приближенной оценки локальной ошибки можно использовать соотношение
dX(t+h) [ (Ah)r+1/(r+1)! ]X(t)
2.1.3. Выражение ошибки численного решения через изменения коэффициентов дифференциального уравнения
Сравнивая точное решение (5) с приближенным численным решением (7) можно видеть, что процедура вычисления на шаге h для них одинакова: предыдущее значение X(t) умножается слева на некоторую матрицу. Однако в точном решении X(t) умножается на матрицу полной экспоненты eAh , а в приближенном - на матрицу усеченной экспоненты еAh.
Зададимся вопросом: для какого, измененного по отношению к (1), уравнения приближенное численное решение X(t+h) из(7) является точным?
Измененное уравнение (1) запишем следующим образом:
(2.1.10)
Его точное решение на шаге h
X(t+h) = e(A+dA)hX(t) (2.1.11)
Приравняв выражения (2) и (11), можно получить :
e(A+dA)h = eAh (2.1.12)
Это уравнение определяет матрицу dA из уравнения (10).
Матричную экспоненту (12) представим в виде:
e(A+dA)h = eAhedAh
Отсюда и из (6) можно получить:
edAh – I = - e-Ah deAh (2.1.13)
Представив матрицы в виде степенных разложений и оставляя только главные члены, получим приближенное соотношение :
dAh - (Ah)r+1 /(r+1)! (2.1.14)
Соотношения (13) и (14) позволяют вычислить матрицу dA, входящую в измененное уравнение (10). Точное решение этого уравнения совпадает с приближенным численным решением уравнения (1) методом r-того порядка. Таким образом, матрицу dA можно использовать в качестве характеристики погрешностей численного решения через изменение коэффициентов дифференциального уравнения (1).
Используя (14) можно выразить локальную ошибку численного решения (9) через dA:
dX(t+h) = - dAhX(t)
Если по условиям решаемой задачи можно сформулировать допустимые изменения коэффициентов dA, то соотношения (13) и (14) позволят осуществить предварительный выбор порядка метода r и шага дискретизации h.